Đề kiểm tra môn Toán 15 phút Chương 1 Hình học 8: Chứng minh IM = MN = NK

Cho tam giác ABC có các trung tuyến BD và CE. Gọi I, K lần lượt là trung điểm của BE và CD. Và M, N theo thứ tự là giao điểm của IK với BD và CE. Chứng minh IM = MN = NK.

Ta có ED là đường trung bình của \(\Delta ABC\) nên \(ED//BC\) và \(ED = \dfrac{1 }{ 2}BC\) (1)

\( \Rightarrow BEDC\) là hình thang có I, K lần lượt là trung điểm của BE và  CD nên IK là đường trung bình của hình thang BEDC

\( \Rightarrow IK//ED\) và BC.

Trong \(\Delta BED\) có IM là đường trung bình nên

\(IM//ED\) và \(IM = \dfrac{1 }{ 2}ED\)  (2)

Từ (1) và (2) \( \Rightarrow IM = \dfrac{1 }{ 4}BC\;\;\;(3)\)

Trong \(\Delta BEC\) cũng có IN là đường trung bình nên \(IN//BC\) và \(IN = \dfrac{1 }{2}BC\) (4)

Từ (3) và (4) \( \Rightarrow MN = \dfrac{1}{4}BC\)

Tương tự trong \(\Delta CDE\) ta có: \(NK = \dfrac{1 }{2}ED \Rightarrow NK = \dfrac{1}{4}BC\).

Vậy \(IM = MN = NK.\)