Đề kiểm tra 45 phút Chương 3 Đại số lớp 9 – Hàm số bậc nhất: Tìm k để hệ phương trình sau có nghiệm duy nhất

Bài 1: Tìm k để hệ phương trình sau có nghiệm duy nhất : \(\left\{ \matrix{  kx + y = 1 \hfill \cr   – x + y = 1. \hfill \cr}  \right.\)

Bài 2: Giải hệ phương trình :

a)\(\left\{ \matrix{  2x + 5y =  – 13 \hfill \cr   – 5x + 6y =  – 23 \hfill \cr}  \right.\)

b)\(\left\{ \matrix{  x + 2y = 4 \hfill \cr  y – 3x = 7. \hfill \cr}  \right.\)

Bài 3: Tìm m để hai đường thẳng ( d₁) : \(3x + my = 3\) và ( d₂) : \(mx + 3y = 3\).

song song với nhau.

Bài 4: Hai người cùng làm việc trong 15 giờ thì được \({1 \over 6}\) công việc. Nếu người thứ nhất làm một mình trong 12 giờ; người thứ hai làm trong 20 giờ thì cả hai làm được \({1 \over 5}\) công việc. Hỏi mỗi người làm riêng thì trong bao lâu sẽ làm xong.

Bài 1: Ta có : \(\left\{ \matrix{  kx + y = 1 \hfill \cr   – x + y = 1 \hfill \cr}  \right. \Leftrightarrow \left\{ \matrix{  kx + y = 1\,\,\,\,\,\,\,\,\left( 1 \right) \hfill \cr  y = x + 1\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\left( 2 \right) \hfill \cr}  \right.\)

Thế y từ (2) vào (1), ta được : \(kx + x = 0  \Leftrightarrow (k+1)x = 0\; (*)\)

Hệ có nghiệm duy nhất \( \Rightarrow \) phương trình (*) có nghiệm duy nhất.

\( \Leftrightarrow k + 1 = 0  \Leftrightarrow  k = − 1.\)

Bài  2: a)

\(\left\{ \matrix{  2x + 5y =  – 13 \hfill \cr   – 5x + 6y =  – 23 \hfill \cr}  \right. \)

\(\Leftrightarrow \left\{ \matrix{  10x + 25y =  – 65 \hfill \cr   – 10x + 12y =  – 46 \hfill \cr}  \right. \)

\(\Leftrightarrow \left\{ \matrix{  37y =  – 111 \hfill \cr  2x + 5y =  – 13 \hfill \cr}  \right.\)

\( \Leftrightarrow \left\{ \matrix{  y =  – 3 \hfill \cr  2x + 5y =  – 13 \hfill \cr}  \right. \Leftrightarrow \left\{ \matrix{  x = 1 \hfill \cr  y =  – 3. \hfill \cr}  \right.\)

b) Ta có :

\(\left\{ \matrix{  x + 2y = 4 \hfill \cr  y – 3x = 7 \hfill \cr}  \right. \)

\(\Leftrightarrow \left\{ \matrix{  x =  – 2y + 4 \hfill \cr  y =  – 3\left( { – 2y + 4} \right) = 7 \hfill \cr}  \right. \)

\(\Leftrightarrow \left\{ \matrix{  y = {{19} \over 7} \hfill \cr  x =  – 2y + 4 \hfill \cr}  \right.\)

\( \Leftrightarrow \left\{ \matrix{  x =  – {{10} \over 7} \hfill \cr  y = {{19} \over 7}. \hfill \cr}  \right.\)

Bài 3: Ta xét hệ : \(\left\{ \matrix{  3x + my = 3\,\,\,\,\,\left( 1 \right) \hfill \cr  mx + 3y = 3\,\,\,\,\,\left( 2 \right) \hfill \cr}  \right.\)

Từ (1) \( \Rightarrow x = {{3 – my} \over 3}.\) Thế x vào (2), ta được :

\(m.{{3 – my} \over 3} + 3y = 3 \)

\(\Leftrightarrow \left( {9 – {m^2}} \right)y = 9 – 3m\,\,\,\,\,\left( * \right)\)

Hệ vô nghiệm \( \Rightarrow \) Phương trình (*) vô nghiệm

\( \Leftrightarrow \left\{ \matrix{  9 – {m^2} = 0 \hfill \cr  9 – 3m \ne 0 \hfill \cr}  \right. \Leftrightarrow m =  – 3.\)

Vậy hai đường thẳng song song \( \Rightarrow \) m = -3.

Bài 4: Gọi \(x, y\) là thời gian để người thứ nhất và thứ hai làm một mình xong công việc ( \(x, y > 0\)).

Mỗi giờ người thứ nhất làm được \({1 \over x}\) công việc, người thứ hai làm được \({1 \over y}\) công việc. Ta có hệ phương trình : \(\left\{ \matrix{  15.{1 \over x} + 15.{1 \over y} = {1 \over 6} \hfill \cr  12.{1 \over x} + 20.{1 \over y} = {1 \over 5} \hfill \cr}  \right.\)

Đặt \(u = {1 \over x};v = {1 \over y}\left( {u > 0,v > 0} \right)\). Ta có hệ phương trình:

\(\left\{ \matrix{  15u + 15v = {1 \over 6} \hfill \cr  12u + 20v = {1 \over 5} \hfill \cr}  \right. \)\(\;\Leftrightarrow \left\{ \matrix{  60u + 60v = {2 \over 3} \hfill \cr  60u + 100v = 1 \hfill \cr}  \right. \)

\(\Leftrightarrow \left\{ \matrix{  40v = {1 \over 3} \hfill \cr  12u + 20v = {1 \over 5} \hfill \cr}  \right. \Leftrightarrow \left\{ \matrix{  v = {1 \over {120}} \hfill \cr  u = {1 \over {360}} \hfill \cr}  \right.\)

Vậy \( x = 360; y = 120.\)

Vậy người thứ nhất làm xong công việc trong \(360\) giờ; người thứ hai làm xong công việc trong \(120\) giờ.