Bài 4 Tính chất ba đường trung tuyến của tam giác: Giải bài 23,24 trang 66; Bài 25,26,27,28 ,29,30 trang 67 SGK Toán 7 tập 2 Chương 3 hình học.
23. Cho G là trọng tâm của ΔDEF với đường trung tuyến DH. Trong các khẳng định sau đây, khẳng định nào đúng ?
G là trọng tâm của ΔDEF với đg trungtuyến DH. Khẳng định đúng là:
24. Cho hình bên. Hãy điền số thích hợp vào chỗ trống trong các đẳng thức sau:
a) MG = … MR ; GR = …MR ; GR = …MG
b) NS = ..NG; NS = …GS; NG = GS
Hình vẽ cho ta biết hai đường trungtuyến MR và NS cắt nhau tại G nên G là trọng tâm của tam giác. Vì vậy ta điền số như sau:
Bài 25 trang 67. Biết rằng: Trong một Δvuông, đường trungtuyến ứng với cạnh bằng một nửa cạnh huyền. hãy giải bài toán sau:
Cho Δvuông ABC có hai cạnh góc vuông AB = 3cm, AC = 4cm. Tính khoảng cách từ đỉnh A tới trọng tâm G của ΔABC.
Hướng dẫn: ∆ABC vuông tại A => BC2 = AB2 + AC2
BC2 = 32 + 42
BC2 = 25
BC = 5
Gọi M là trung điểm của BC => AM là trungtuyến ứng với cạnh huyền bằng một nửa cạnh huyền nên AM = 1/2 BC
Vì G là trọng tâm của ∆ ABC nên:
26. Chứng minh định lí: Trong một Δcân, hai đường trung-tuyến ứng với hai cạnh bên thì bằng nhau.
Giả sử ∆ABC cân tại A có hai đg trung-tuyến BM và CN, ta chứng minh BM = CN
Ta có AN = NB = AB/2 (Tính chất đường trung-tuyến)
AM = MC = AC/2 (Tính chất đường trung-tuyến)
Vì ∆ ABC cân tại A=> AB = AC nên AM = AN
Xét ∆BAM ;∆CAN có:
AM = AN (cm trên)
Góc A chung
AB = AC (∆ABC cân)
Nên suy ra ∆BAM = ∆CAN (c-g-c)
=> BM = CN ( 2 cạnh tương ứng)
Bài 27. Hãy chứng minh định lí đảo của định lí trên : Nếu Δ có hai đường trung-tuyến bằng nhau thì Δ đó cân.
Advertisements (Quảng cáo)
Giả sử ∆ABC có hai đg trung tuyến BE và CF gặp nhau ở G
=> G là trọng tâm của Δ
=> GB = 2/3 BE; GC = 2/3 CF
mà BE = CF (giả thiết) nên GB = GC
=> ∆GBC cân tại G => ∠GCB = ∠GBC
Xét ∆BGF và ∆CGE có:
GB = GC ( cmt)
góc BGF = góc CGE (2 góc đối đỉnh)
GE = GF
⇒ ∆BGF = ∆CGE (c-g-c)
⇒ BF = CE ( 2 cạnh tương ứng)
Xét ΔFBC và ΔECB có
BF = CE (CMT)
Cạnh BC chung
BE = CF (GT)
⇒ ΔFBC = ΔECB (c-c-c)
⇒ góc B = góc C
Xét ΔABC có góc B = góc C
⇒ ΔABC là Δ cân tại A. ( 2 góc đáy bằng nhau)
Bài 28. Cho ΔDEF cân tại D với đường trung tuyến DI
a) Chứng minh ∆DEI = ∆DFI
b) Các góc DIE và góc DIF là những góc gì?
c) Biết DE = DF = 13cm, EF = 10cm, hãy tính độ dài đường trungtuyến DI.
Hướng dẫn giải: a) ∆DEI = ∆DFI có:
DI là cạnh chung
DE = DF ( ∆DEF cân)
IE = IF (DI là trung.tuyến)
=> ∆DEI = ∆DFI (c.c.c)
Advertisements (Quảng cáo)
b) Vì ∆DEI = ∆DFI => ∠DIE = ∠DIF
mà ∠DIE + ∠DIF= 1800 ( kề bù)
nên ∠DIE = ∠DIF = 900
c) I là trung điểm của EF nên IE = IF = 5cm
∆DEI vuông tại I => DI2 = DE2 – EI2 (định lí pytago)
=> DI2 = 132 – 52 = 144
=> DI = 12
Bài 29 trang 67. Cho G là trọng tâm của Δđều ABC. Chứng minh rằng:
GA =GB = GC
Gọi M, N, E là giao điểm của AG, BG, CG với BC, CA, AB.
Vì G là trọng tâm của ∆ABC nên
Vì ∆ABC đều nên ba đg trung.tuyến ứng với ba cạnh BC, CA, AB bằng nhau
=> AM = BN = CE (2)
Từ (1), (2) => GA = GB = GC
Bài 30 trang 67 Toán 7: Gọi G là trọng tâm của ΔABC. Trên tia AG lấy điểm G’ sao cho G là trung điểm của AG’
a) So sánh các cạnh của ΔBGG’ với các đường trung.tuyến của ΔABC
b) So sánh các đường trung tuyến của ΔBGG’ với các cạnh của ΔABC.
a) So sánh các cạnh của ∆BGG’ với các đường trung tuyến của ∆ABC BG cắt AC tại N
CG cắt AB tại E
G là trọng tâm của ∆ABC
=> GA = 2/3 AM
Mà GA = GG’ ( G là trung điểm của AG ‘)
GG’ = 2/3 AM
Vì G là trọng tâm của ∆ABC => GB = 2/3 BN
Mặt khác : GM = 1/2 AG ( G là trọng tâm )
AG = GG’ (gt)
GM = 1/2 GG’
M là trung điểm GG’
Do đó ∆GMC = ∆G’MB vì :
GM = MG’
MB = MC
∠GMC = ∠G’MB
=> BG’ = CG
mà CG = 2/3 CE (G là trọng tâm ∆ABC)
=> BG’ = 2/3 CE
Vậy mỗi cạnh của ∆BGG’ bằng 2/3 đường trungtuyến của ∆ABC
b) So sánh các đường trungtuyến của ∆BGG’ với cạnh ∆ABC
ta có: BM là đường trung-tuyến ∆BGG’
mà M là trung điểm của BC nên BM = 1/2 BC
Vì IG = 1/2 BG (I là trung điểm BG)
GN = 1/2 BG ( G là trọng tâm)
=> IG = GN
Do đó ∆IGG’ = ∆NGA (cgc) => IG’ = AN => IG’ = AC/2
– Gọi K là trung điểm BG => GK là trung tuyến ∆BGG’
Vì GE = 1/2 GC (G là trọng tâm ∆ABC)
=> GE = 1/2 BG
mà K là trung điểm BG’ => KG’ = EG
Vì ∆GMC = ∆G’BM (chứng minh trên)
=> ∠GCM = ∠G’BM (lại góc sole trong)
=> CE // BG’ => ∠AGE = ∠AG’B (đồng vị)
Do đó ∆AGE = ∆GG’K (cgc) => AE = GK
mà AE = 1/2 AB nên GK = 1/2 AB
Vậy mỗi đg trungtuyến ∆BGG’ bằng một nửa cạnh của ΔABC song song với nó
