Đề Toán kì 2: Hai PT cùng nhận x= a làm nghiệm có tương đương với nhau không?

I. PHẦN TRẮC NGHIỆM: (3 điểm )

1. : Cho a> b và a.b<0, bất đẳng thức \(\dfrac{1}{a} > \dfrac{1}{b}\) là đúng hay sai ?

A. Đúng                         B.Sai

2. : Hai phương trình cùng nhận x= a làm nghiệm có tương đương với nhau không?

A. Có                              B. không

3.: Giải phương trình \(2{x^2} – 2x + 1 =  – 5x\)

A. x= -1

B. x= \(\dfrac{1}{2}\)

C. x= 1

D.x = -1; x= -\(\dfrac{1}{2}\)

4. : Viết tập  nghiệm  của bất phương trình bằng kí hiệu tập hợp:

                    \( – 7 \ge 5x\)

A. \(S = \left\{ {x \in R/x \le  – \dfrac{7}{5}} \right\}\)

B. \(S = \left\{ {x \in R/x \ge \dfrac{7}{5}} \right\}\)

C. \(S = \left\{ {x \in R/x \le \dfrac{7}{5}} \right\}\)

D.\(S = \left\{ {x \in R/x \ge  – \dfrac{7}{5}} \right\}\)

5. : Cho hình hộp chữ nhật có ba kích thước 5cm,3cm,2cm. Tính thể tích của hình hộp đó

A. 30cm

B. 30 cm²

C. 10cm ³

D. 30cm³

6. :  Tính tỉ số của các cặp đoạn thẳng sau :

AB=18cm,CD =12cm

A.\(\dfrac{5}{3}\)

B. \(\dfrac{3}{2}\)

C.\(\dfrac{1}{6}\)

D.\(\dfrac{{12}}{{15}}\)

 II. PHẦN TỰ LUẬN (7đ):

Bài 1: (2đ) Cho biểu thức :  M = \(\left( {\dfrac{1}{{x + 1}} + \dfrac{2}{{1 – x}} + \dfrac{x}{{{x^2} – 1}}} \right):\dfrac{1}{{x + 1}}\)

  a, Rút gọn biểu thức M.

  b, Tính giá trị của biểu thức M khi x = -1 ; x = 2

Bài 2: (2đ)

  a, Giải bất phương trình và biểu diễn tập nghiệm trên trục số :  3x – 12 ≥ 0

  b, Cho ba số dương a, b, c có tổng bằng 1. Chứng minh : \(\dfrac{1}{a} + \dfrac{1}{b} + \dfrac{1}{c} \ge 9\)

Bài 3: (1đ)

   Một xe ô tô đi từ A đến B với vận tốc 50 km/h . Lúc từ B trở về A xe đi với vận tốc 45km/h nên thời gian về nhiều hơn thời gian đi là 20 phút. Tính quãng đường AB.

Bài 4: (2đ)

  Cho hình chữ nhật ABCD , có AB = 3 cm , BC = 4 cm . Vẽ đường cao AH của tam giác ABD .

   a, Chứng minh: ∆AHD ~ ∆DCB.

   b, Chứng minh: AB² = BH.BD .

   c, Tính độ dài: BH, AH .

I/PHẦN TRẮC NGHIỆM:

1A; 2B; 3D; 4A; 5D; 6B

II/PHẦN TỰ LUẬN (7đ)

Bài 1: (2đ) 

a, Rút gọn biểu thức: Điều kiện xác định của biểu thức M là : x ≠ ±1

\(M=\left( {\dfrac{1}{{x + 1}} – \dfrac{2}{{x – 1}} + \dfrac{x}{{{x^2} – 1}}} \right)\)\(\,:\dfrac{1}{{x + 1}}\)

= \(\dfrac{{x – 1 – 2(x + 1) + x}}{{{x^2} – 1}}:\dfrac{1}{{x + 1}}\)

= \(\dfrac{{x – 1 – 2x – 2 + x}}{{{x^2} – 1}}:\dfrac{1}{{x + 1}}\)

=\(\dfrac{{ – 3}}{{(x – 1)(x + 1)}}.\dfrac{{x + 1}}{1}\) = \(\dfrac{{ – 3}}{{x – 1}}\)

= \(\dfrac{3}{{1 – x}}\)

b, Khi x = -1(không TMĐKXĐ) . Nên giá trị của biểu thức M không xác định.

    Khi x = 2 ( TMĐKXĐ ).

M =\(\dfrac{3}{{1 – 2}}\) = \(\dfrac{3}{{ – 1}}\) = -3

Bài 2: (2đ)

a, 3x – 12 ≥ 0 \( \Leftrightarrow \) 3x ≥ 12 \( \Leftrightarrow \) x ≥ 4 . Vậy x ≥ 4 là nghiệm của bất phương trình đã cho.

b, Ta có a + b + c = 1.

Nên \(\dfrac{{a + b + c}}{a}\)=\(\dfrac{1}{a} \)\(\;\Rightarrow \dfrac{1}{a}=1+\dfrac{b}{a} + \dfrac{c}{a}\,\,\,\,\,\,\,(1)\)

\(\dfrac{{a + b + c}}{b} = \dfrac{1}{b}\)\(\; \Rightarrow \dfrac{1}{b} = 1 + \dfrac{a}{b} + \dfrac{c}{b}\,\,\,\,\,\,\,(2)\)

\(\dfrac{{a + b + c}}{c} = \dfrac{1}{c}\)\(\; \Rightarrow \dfrac{1}{c} = 1 + \dfrac{a}{c} + \dfrac{b}{c}\,\,\,\,\,\,\,(3)\)

Vế cộng vế của (1),(2),(3) ta có:

\(\dfrac{1}{a} + \dfrac{1}{b} + \dfrac{1}{c} \)\(\,= 3 + \left( {\dfrac{a}{b} + \dfrac{b}{a}} \right) + \left( {\dfrac{b}{c} + \dfrac{c}{b}} \right)\)\(\, + \left( {\dfrac{c}{a} + \dfrac{a}{c}} \right)\)

Mà: a² + b² ≥ 2ab (Bất đẳng thức Cô-Si) \( \Rightarrow \dfrac{{{a^2} + {b^2}}}{{ab}} \ge \dfrac{{2ab}}{{ab}}\)  \( \Rightarrow \dfrac{a}{b} + \dfrac{b}{a} \ge 2\)

Tương tự ta có: \(\dfrac{b}{c} + \dfrac{c}{b} \ge 2\)  và :  \(\dfrac{a}{c} + \dfrac{c}{a} \ge 2\)

 Nên : \(\dfrac{1}{a} + \dfrac{1}{b} + \dfrac{1}{c} \ge 3 + 2 + 2 + 2 = 9\)

 Vậy : \(\dfrac{1}{a} + \dfrac{1}{b} + \dfrac{1}{c} \ge 9\)

Bài 3:(1điểm)

 Gọi quãng đường AB là x (km), điều kiện : x > 0 .

 Thời gian ô tô đi từ A đến B với vận tốc 50 km/h là :\(\dfrac{x}{{50}}\)  (h)

 Thời gian ô tô đi từ B trở về A với vận tốc 45km/h là : \(\dfrac{x}{{45}}\)  (h)

Mà thời gian về nhiều hơn thời gian đi là: 20 phút = \(\dfrac{1}{3}\)h, nên ta có phương trình:

\(\dfrac{x}{{45}} – \dfrac{x}{{50}} = \dfrac{1}{3}\) \( \Leftrightarrow \) 10x – 9x = 150

\( \Leftrightarrow \)  x = 150 (TMĐK)

   Vậy quãng đường AB là 150 km.

Bài 4: (2điểm)

  Chứng minh

a, Xét ∆AHD và ∆DCB có: H = C = 90⁰(gt), D = B (so le trong do AD// CB) \( \Rightarrow\) ∆AHD~∆DCB(g.g)

b, Xét ∆ADB và ∆HAB có : Â = H = 90⁰ (gt), B chung \( \Rightarrow\)∆ADB ~ ∆HAB (g.g)

\( \Rightarrow\) \(\dfrac{{AB}}{{HB}} = \dfrac{{BD}}{{AB}} \Rightarrow \) AB² =  BD.HB

c, ∆ADB vuông tại A, nên: DB² = AB² + AD²(đ/l Pi ta go)\( \Rightarrow\) DB² = 3² + 4² = 25 = 5²

\( \Rightarrow\)DB= 5(cm)

Vì  AB² = BD.HB (c/m trên)

\( \Rightarrow\) HB = \(\dfrac{{A{B^2}}}{{BD}} = \dfrac{{{3^2}}}{5} = \dfrac{9}{5} = 1,8(cm)\)

Vì ∆ADB ~∆HAB (c/m trên) \( \Rightarrow\) \(\dfrac{{AD}}{{AH}} = \dfrac{{BD}}{{AB}}\)

\(\Rightarrow AH = \dfrac{{AD.AB}}{{BD}} = \dfrac{{4.3}}{5} = 2,4(cm)\)

Vậy : BH = 1,8 cm ;  AH = 2,4 cm