Đề kiểm tra học kì 1 môn Toán lớp 7: Chứng minh DE song song với BC.

Đề kiểm tra học kì 1 môn Toán lớp 7. Biết 78 công nhân hoàn thành một công việc trong 56 ngày. Hỏi phải tăng thêm bao nhiêu công nhân nữa để hoàn thành công việc đó trong 42 ngày (năng suất mỗi công nhân là như nhau).

1. (3,5đ) :

1. Thực hiện phép tính sau (1,5đ)

a) \(\dfrac{1}{4} + \dfrac{{ – 3}}{5}\)

b) \(\dfrac{{11}}{{37}} – \dfrac{5}{{41}} + \dfrac{{26}}{{37}} + 0,75 – \dfrac{{36}}{{41}}\)

2. Tìm x (2đ)

a) \(x – \dfrac{1}{2} = \dfrac{3}{2}\)

b) \(\left| {x + \dfrac{3}{4}} \right| – \dfrac{1}{2} = \sqrt {\dfrac{9}{4}} \)

c) \(4\dfrac{2}{3}.x – {\left( {\dfrac{{ – 2}}{3}} \right)^2} = {\left( {2,3 – 5,7} \right)^0}\)

2. (2đ):

Biết 78 công nhân hoàn thành một công việc trong 56 ngày. Hỏi phải tăng thêm bao nhiêu công nhân nữa để hoàn thành công việc đó trong 42 ngày (năng suất mỗi công nhân là như nhau).

3. (1đ):

Cho hàm số \(y = f\left( x \right) =  – \dfrac{2}{5}x + 3\). Tính: \(f\left( { – 5} \right)\,\,;\,\,f\left( {0,7} \right)\,\,;\,\,f\left( {3\dfrac{1}{4}} \right)\).

4. (3đ):

Cho tam giác ABC.Gọi M là trung điểm cạnh BC. Trên tia AM lấy điểm D sao cho \(AM = MD\)

a) Chứng minh \(\Delta AMB = \Delta DMC\).

b) Vẽ AH vuông góc với BC tại H. Trên tia đối của tia HA lấy điểm E sao cho \(HE = HA\). Chứng minh \(\Delta HMA = \Delta HME\) và suy ra \(ME = MD\).

c) Vẽ điểm K là trung điểm của đoạn thẳng DE. Chứng minh \(\angle MED = \angle MDE\).

d) Chứng minh DE song song với BC.

5. (0,5đ): Cho \(\dfrac{{2bz – 3cy}}{a} = \dfrac{{3cx – az}}{{2b}} = \dfrac{{ay – 2bx}}{{3c}}\)

Chứng minh: \(\dfrac{x}{a} = \dfrac{y}{{2b}} = \dfrac{z}{{3c}}\).

1. Thực hiện phép tính sau (1,5đ)

a) \(\dfrac{1}{4} + \dfrac{{ – 3}}{5} = \dfrac{{1.5 – 3.4}}{{20}} = \dfrac{{ – 7}}{{20}}\)

b) \(\dfrac{{11}}{{37}} – \dfrac{5}{{41}} + \dfrac{{26}}{{37}} + 0,75 – \dfrac{{36}}{{41}} \)

\(= \left( {\dfrac{{11}}{{37}} + \dfrac{{26}}{{37}}} \right) – \left( {\dfrac{5}{{41}} + \dfrac{{36}}{{41}}} \right) + 0,75 \)

\(= 1 – 1 + 0,75 = 0,75\)

2. Tìm x (2đ)

a) \(x – \dfrac{1}{2} = \dfrac{3}{2} \Leftrightarrow x = \dfrac{3}{2} + \dfrac{1}{2} = 2\)

b) \(\left| {x + \dfrac{3}{4}} \right| – \dfrac{1}{2} = \sqrt {\dfrac{9}{4}} \)

\(\Leftrightarrow \left| {x + \dfrac{3}{4}} \right| = \dfrac{3}{2} + \dfrac{1}{2} = 2\)   (1)

TH1: \(x + \dfrac{3}{4} \ge 0 \Leftrightarrow x \ge  – \dfrac{3}{4}\)

(1) \( \Rightarrow x + \dfrac{3}{4} = 2 \Leftrightarrow x = 2 – \dfrac{3}{4} = \dfrac{5}{4}\,\,(N)\)

TH2: \(x + \dfrac{3}{4} < 0 \Leftrightarrow x <  – \dfrac{3}{4}\)

(1) \( \Rightarrow  – x – \dfrac{3}{4} = 2\)

\(\Leftrightarrow x =  – 2 – \dfrac{3}{4} =  – \dfrac{{11}}{4}\,\,(N)\)

Vậy \(x = \dfrac{5}{4}\)hoặc\(x =  – \dfrac{{11}}{4}\)

c) \(4\dfrac{2}{3}.x – {\left( {\dfrac{{ – 2}}{3}} \right)^2} = {\left( {2,3 – 5,7} \right)^0}\)

\(\Leftrightarrow \dfrac{{14}}{3}x – \dfrac{4}{9} = 1 \)

\(\Leftrightarrow \dfrac{{14}}{3}x = 1 + \dfrac{4}{9} = \dfrac{{13}}{9}\)

\( \Leftrightarrow x = \dfrac{{13}}{9}.\dfrac{3}{{14}} = \dfrac{{13}}{{42}}\)

2. Biết 78 công nhân hoàn thành một công việc trong 56 ngày. Hỏi phải tăng thêm bao nhiêu công nhân nữa để hoàn thành công việc đó trong 42 ngày (năng suất mỗi công nhân là như nhau).

Gọi số công nhân để hoàn thành công việc đó trong 42 ngày là x (công nhân) (\(x \in {N^*},x > 78\))

Vì số ngày và số công nhân là hai đại lượng tỉ lệ nghịch nên ta có:

\(78.56 = x.42 \Leftrightarrow x = \dfrac{{78.56}}{{42}} = 104\) (công nhân)

Số công nhân phải tăng thêm để hoàn thành công việc đó trong 42 ngày là: \(104 – 78 = 26\) (công nhân)

Vậy phải tăng thêm 42 công nhân để hoàn thành công việc đó trong 42 ngày.

3. Cho hàm số\(y = f\left( x \right) =  – \dfrac{2}{5}x + 3\). Tính:\(f\left( { – 5} \right)\,\,;\,\,f\left( {0,7} \right)\,\,;\,\,f\left( {3\dfrac{1}{4}} \right)\).

\(f\left( { – 5} \right) = \dfrac{{ – 2}}{5}.\left( { – 5} \right) + 3 = 2 + 3 = 5\)

\(f\left( {0,7} \right) = \dfrac{{ – 2}}{5}.0,7 + 3 = \dfrac{{ – 2}}{5}.\dfrac{7}{{10}} + 3 = \dfrac{{ – 7}}{{25}} + 3 = \dfrac{{68}}{{25}}\)

\(f\left( {3\dfrac{1}{4}} \right) = f\left( {\dfrac{{13}}{4}} \right) = \dfrac{{ – 2}}{5}.\dfrac{{13}}{4} + 3 = \dfrac{{ – 13}}{{10}} + 3 = \dfrac{{17}}{{10}}\)

4.

Cho tam giác ABC. Gọi M là trung điểm cạnh BC. Trên tia AM lấy điểm D sao cho\(AM = MD\)

a) Chứngminh \(\Delta AMB = \Delta DMC\).

Xét\(\Delta AMB\)và\(\Delta DMC\)có:

\(MA = MD\) (gt); \(\angle AMB = \angle DMC\) (đối đỉnh); \(MB = MC\)(M là trung điểm cạnh BC)

\( \Rightarrow \)\(\Delta AMB = \Delta DMC\) (c.g.c)

b) Vẽ AH vuông góc với BC tại H. Trên tia đối của tia HA lấy điểm E sao cho\(HE = HA\). Chứng minh \(\Delta HMA = \Delta HME\)vàsuyra\(ME = MD\).

Xét\(\Delta HMA\)và\(\Delta HME\)có:

HM chung;\(\angle MHA = \angle MHE = {90^o}\) (\(AE \bot BC\));\(HE = HA\) (gt)

\( \Rightarrow \)\(\Delta HMA = \Delta HME\) (c.g.c)\( \Rightarrow ME = MA\)(2 cạnh tương ứng)

Mà\(MA = MD\) (gt) \( \Rightarrow ME = MD\)

c) Vẽ điểm K là trung điểm của đoạn thẳng DE. Chứng minh \(\angle MED = \angle MDE\).

Xét\(\Delta MKE\)và\(\Delta MKD\)có:

MKchung; \(ME = MD\) (cmt); \(KE = KD\) (K là trung điểm của đoạn thẳng DE)

\( \Rightarrow \)\(\Delta MKE = \Delta MKD\) (c.c.c) \( \Rightarrow \angle MED = \angle MDE\)(2 góc tương ứng)

d) Chứng minh DE song song với BC.

Ta có\(ME = MA = MD \Rightarrow ME = \dfrac{{MA + MD}}{2} = \dfrac{{AD}}{2}\)

Xét\(\Delta AED\)có ME là trung tuyến ứng với cạnh AD và\(ME = \dfrac{1}{2}AD\) (cmt)

\( \Rightarrow \Delta AED\)vuông tại E \( \Rightarrow AE \bot DE\)mà\(AE \bot BC\) (gt)

\( \Rightarrow DE//BC\)(đpcm)

5. Cho \(\dfrac{{2bz – 3cy}}{a} = \dfrac{{3cx – az}}{{2b}} = \dfrac{{ay – 2bx}}{{3c}}\)

Chứng minh: \(\dfrac{x}{a} = \dfrac{y}{{2b}} = \dfrac{z}{{3c}}\).

Ta có: \(\dfrac{{2bz – 3cy}}{a} = \dfrac{{3cx – az}}{{2b}} = \dfrac{{ay – 2bx}}{{3c}}\)

\( \Rightarrow \dfrac{{2abz – 3acy}}{{{a^2}}} = \dfrac{{6bcx – 2abz}}{{4{b^2}}} \)\(\;= \dfrac{{3acy – 6bcx}}{{9{c^2}}} \)\(\;= \dfrac{{2abz – 3acy + 6bcx – 2abz + 3acy – 6bcx}}{{{a^2} + 4{b^2} + 9{c^2}}} \)\(\;= \dfrac{0}{{{a^2} + 4{b^2} + 9{c^2}}} = 0\)

(Áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau)

\( \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}2bz = 3cy\\3cx = az\\ay = 2bx\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}\dfrac{z}{{3c}} = \dfrac{y}{{2b}}\\\dfrac{x}{a} = \dfrac{y}{{2b}}\end{array} \right. \Rightarrow \dfrac{x}{a} = \dfrac{y}{{2b}} = \dfrac{z}{{3c}}\) (đpcm)