Bài 1 : (1,5đ). Thực hiện phép tính:
\(a)\;\dfrac{2}{5} + \dfrac{3}{4} – \dfrac{1}{{10}}\)
\(b)\;\dfrac{3}{7}.19\dfrac{1}{3} – \dfrac{3}{7}.12\dfrac{1}{3} + {\left( {\dfrac{1}{2}} \right)^2}\)\(\)
\(c)\;\sqrt {25} – 3.\sqrt {\dfrac{1}{4}} + \left| { – \dfrac{3}{2}} \right|\)
Bài 2 : (2,0đ).
a) Tìm x biết: \(\dfrac{2}{3}x + \dfrac{1}{7} = \dfrac{5}{3}\);
b) Tìm x, y biết: \(\dfrac{x}{5} = \dfrac{y}{3}\) và \(x – y = 16\);
c) Cho hàm số y = f(x) = 2x – 1. Tính f(2); f\(\left( { – \dfrac{1}{2}} \right)\).
Bài 3 : (2,0đ). Ba đơn vị kinh doanh góp vốn theo tỉ lệ 2 : 4 : 6. Hỏi mỗi đơn vị được chia bao nhiêu tiền lãi nếu tổng số tiền lãi là 600 triệu đồng và tiền lãi được chia tỉ lệ thuận với số vốn đã đóng?
Bài 4 : (4,0đ). Cho tam giác ABC vuông tại A có AB = AC. Gọi M là trung điểm của BC, D là trung điểm của cạnh AC.
a) Chứng minh rằng: \(\Delta AMB = \Delta AMC\) và \(AM \bot BC\);
b) Từ A kẻ đường thẳng vuông góc với BD, cắt BC tại E. Trên tia đối của tia DE lấy điểm F sao cho DF = DE. Chứng minh rằng: \(\Delta A{\rm{D}}F = \Delta C{\rm{D}}E,\) từ đó suy ra: \(AF\parallel CE\);
c) Từ C dựng đường thẳng vuông góc với AC, cắt AE tại G. Chứng minh rằng: \(\Delta BA{\rm{D}} = \Delta ACG;\)
d) Chứng minh rằng: AB = 2CG.
Bài 5 : (0,5đ).
Cho các số \(a,\;b,\;c > 0\) và \(\dfrac{{a + b}}{3} = \dfrac{{b + c}}{4} = \dfrac{{c + a}}{5}.\) Tính giá trị biểu thức \(M = 10{\rm{a}} + b – 7c + 2017.\)
Bài 1: \(a)\dfrac{2}{5} + \dfrac{3}{4} – \dfrac{1}{{10}} \)
\(= \dfrac{{2.4}}{{5.4}} + \dfrac{{3.5}}{{4.5}} – \dfrac{{1.2}}{{10.2}} \)
\(= \dfrac{8}{{20}} + \dfrac{{15}}{{20}} – \dfrac{2}{{20}} \)
\(= \dfrac{{8 + 15 – 2}}{{20}} = \dfrac{{21}}{{20}}\)
\(\begin{array}{l}b)\;\dfrac{3}{7}.19\dfrac{1}{3} – \dfrac{3}{7}.12\dfrac{1}{3} + {\left( {\dfrac{1}{2}} \right)^2}\\ = \dfrac{3}{7}.\left( {19\dfrac{1}{3} – 12\dfrac{1}{3}} \right) + \dfrac{1}{4} \\= \dfrac{3}{7}.\left( {\dfrac{{58}}{3} – \dfrac{{37}}{3}} \right) + \dfrac{1}{4}\\ = \dfrac{3}{7}.\left( {\dfrac{{58 – 37}}{3}} \right) + \dfrac{1}{4} \\= \dfrac{3}{7}.\dfrac{{21}}{3} + \dfrac{1}{4} \\= 3 + \dfrac{1}{4} = \dfrac{{3.4 + 1}}{4} = \dfrac{{13}}{4}\end{array}\)
\(c)\;\sqrt {25} – 3\sqrt {\dfrac{1}{4}} + \left| { – \dfrac{3}{2}} \right| \)
Advertisements (Quảng cáo)
\(= \sqrt {{5^2}} – 3\sqrt {{{\left( {\dfrac{1}{2}} \right)}^2}} + \dfrac{3}{2}\)
\(= 5 – 3.\dfrac{1}{2} + \dfrac{3}{2} = 5\)\(\)
Bài 2: \(\begin{array}{l}a)\;\dfrac{2}{3}x + \dfrac{1}{7} = \dfrac{5}{3}\\ \Leftrightarrow \dfrac{2}{3}x = \dfrac{5}{3} – \dfrac{1}{7}\\ \Leftrightarrow \dfrac{2}{3}x = \dfrac{{35}}{{21}} – \dfrac{3}{{21}}\\ \Leftrightarrow \dfrac{2}{3}x = \dfrac{{32}}{{21}}\\ \Leftrightarrow x = \dfrac{{\dfrac{{32}}{{21}}}}{{\dfrac{2}{3}}} = \dfrac{{32}}{{21}}.\dfrac{3}{2} = \dfrac{{16}}{7}.\end{array}\)
Vậy \(x = \dfrac{{16}}{7}\).
b) Theo tính chất dãy tỉ số bằng nhau, ta có:
\(\) \(\begin{array}{l}\dfrac{x}{5} = \dfrac{y}{3} = \dfrac{{x – y}}{{5 – 3}} = \dfrac{{16}}{2} = 8\\ \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 8.5 = 40\\y = 3.8 = 24\end{array} \right..\end{array}\)
Vậy x = 40 và y = 24.
\(c)\;\;y = f\left( x \right) = 2x – 1\)
\(\begin{array}{l} \Rightarrow y = f\left( 2 \right) = 2.2 – 1 = 3\\ \Rightarrow y = f\left( {\dfrac{{ – 1}}{2}} \right) = 2.\left( { – \dfrac{1}{2}} \right) – 1 = – 1 – 1 = – 2.\end{array}\)
Vậy \(f\left( 2 \right) = 3\) và \(f\left( { – \dfrac{1}{2}} \right) = – 2.\)\(\)
Bài 3: Gọi số tiền lãi mỗi đơn vị kinh doanh nhận được lần lượt là x, y, z (triệu đồng) \(\left( {0 < x,\;y,\;z < 600} \right).\)
Theo giả thiết của đề bài, ta có: \(\dfrac{x}{2} = \dfrac{y}{4} = \dfrac{z}{6} = \dfrac{{x + y + z}}{{2 + 4 + 6}} = \dfrac{{600}}{{12}} = 50\)
\( \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 2.50 = 100\;\;\;\left( {tm} \right)\\y = 4.50 = 200\;\;\;\left( {tm} \right)\\z = 6.50 = 300\;\;\;\;\left( {tm} \right)\end{array} \right..\)
Vậy số tiền lãi mỗi đơn vị kinh doanh nhận được lần lượt là 100 triệu đồng, 200 triệu đồng và 300 triệu đồng.
Bài 4:
Advertisements (Quảng cáo)
a) Theo đề bài ta có: \(\Delta ABC\) vuông tại A và AB = AC.
\( \Rightarrow \Delta ABC\) vuông cân tại A.
\( \Rightarrow \angle ABM = \angle ACM = {45^0}\) (2 góc đáy bằng nhau)
Xét \(\Delta AMB\) và \(\Delta AMC\) ta có:
BM = MC (M là trung điểm của BC)
AB = AC (theo giả thiết)
\(\angle ABM = \angle ACM\) (chứng minh trên)
\( \Rightarrow \Delta AMB = \Delta AMC\;(c – g – c)\) (đpcm)
\( \Rightarrow \angle BAM = \angle CAM\)
Mà \(\angle BAC = \angle BAM + \angle MAC = {90^0} \)
\(\Rightarrow \angle BAM = \angle CAM = \dfrac{1}{2}\angle BAC = {45^0}\)
Xét tam giác AMB, ta có:
\(\begin{array}{l}\angle ABM + \angle BAM + \angle AMB = {180^0}\\ \Leftrightarrow {45^0} + {45^0} + \angle AMB = {180^0}\\ \Leftrightarrow \angle AMB = {90^0}\end{array}\)
\( \Rightarrow AM \bot BC\) (đpcm) \(\Delta AMB\)
b) Xét tam giác ADF và tam giác CDE ta có:
AD = DC (D là trung điểm AC)
DE = DF (theo giả thiết)
\(\angle A{\rm{D}}F = \angle C{\rm{D}}E\) (2 góc đối đỉnh)
\( \Rightarrow \Delta A{\rm{D}}F = \Delta C{\rm{D}}E\;(c – g – c)\)(đpcm)
\( \Rightarrow \angle DAF = \angle DCE\) (2 góc tương ứng)
Lại thấy \(\angle DCE\) và \(\angle DAF\) là cặp góc so le trong bằng nhau \( \Rightarrow AF\parallel CE\)(đpcm)
c) Xét 2 tam giác vuông BAD và ACG ta có:
\(\angle CAG = \angle AB{\rm{D}}\) (cùng phụ với góc \(\angle BAG\))
AB = AC (theo giả thiết)
\( \Rightarrow \Delta BA{\rm{D}} = \Delta ACG\;\)(cạnh góc vuông – góc nhọn kề cạnh ấy) (đpcm)
d) Ta có: \(\Delta BA{\rm{D}} = \Delta ACG\;\left( {cmt} \right)\)
\( \Rightarrow A{\rm{D}} = CG\) (2 cạnh tương ứng)
Ta lại có: \(A{\rm{D}} = \dfrac{1}{2}AC = \dfrac{1}{2}AB\)
\( \Rightarrow 2CG = AB\)(đpcm)
Bài 5: Áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau, ta có:
\(\) \(\dfrac{{c + a}}{5} = \dfrac{{b + c}}{4} = \dfrac{{a + b}}{3} = \dfrac{{c + a – b – c + a + b}}{{5 – 4 + 3}} = \dfrac{{2{\rm{a}}}}{4} = \dfrac{a}{2}\) (1)
Từ (1) ta có: \(\dfrac{{b + c}}{4} = \dfrac{{a + b}}{3} \Leftrightarrow 3b + 3c = 4{\rm{a}} + 4b \Leftrightarrow b = 3c – 4{\rm{a}}\) (2)
Thế (2) vào biểu thức M, ta có: M = 10a + 3c – 4a – 7c + 2017 = 6a – 4c + 2017 (3)
Từ (1) ta lại có: \(\dfrac{{c + a}}{5} = \dfrac{a}{2} \Leftrightarrow 2c + 2{\rm{a}} = 5{\rm{a}} \Leftrightarrow 2c = 3{\rm{a}} \Leftrightarrow 4c = 6{\rm{a}}\;\;(4)\)
Thế (4) vào (3) ta có: M = 6a – 6a + 2017 = 2017
Vậy M = 2017.
