Đề 1
ĐỀ 1 (45 PHÚT)
Câu 1 (6 điểm): Cho mặt phẳng \((\alpha )\) có phương trình tổng quát: \(2x + y – z – 6 = 0.\)
a) Viết phương trình mặt phẳng \((\beta )\) đi qua O và song song với \((\alpha )\).
b) Viết phương trình tham số của đường thẳng đi qua gốc tọa độ và vuông góc với mặt phẳng \((\alpha )\).
c) Tính khoảng cách từ gốc tọa độ đến mặt phẳng \((\alpha )\).
Hướng dẫn làm bài
a) Mặt phẳng \((\alpha )\) có phương trình: \(2x + y – z – 6 = 0\)
\((\beta )\) đi qua O(0; 0 ;0) và \((\beta )//(\alpha )\) , suy ra phương trình của \((\beta )\) là 2x + y – z = 0.
b) Đường thẳng \(\Delta \) đi qua O và vuông góc với mặt phẳng \((\alpha )\), suy ra phương trình tham số của \(\Delta \) là \(\left\{ {\matrix{{x = 2t} \cr {y = t} \cr {z = – t} \cr} } \right.\)
c)\(d(O,(\alpha )) = {{| – 6|} \over {\sqrt {4 + 1 + 1} }} = \sqrt 6 \)
Câu 2 (4 điểm): Cho bốn điểm A(1;1; 1), B(2; 2; 1), C(1; 2; 2), D(2; 1; 2).
a) Chứng minh AB và CD chéo nhau.
b) Viết phương trình mặt cầu đi qua A, B, C, D.
Hướng dẫn làm bài
a) Ta có: \(\overrightarrow {AB} (1;1;0),\overrightarrow {AC} (0;1;1),\overrightarrow {AD} (1;0;1)\)
\(\overrightarrow {AB} \wedge \overrightarrow {AC} = (1; – 1;1),\overrightarrow {AD} .(\overrightarrow {AB} \wedge \overrightarrow {AC} ) = 2 \ne 0\)
Do đó A, B, C, D không đồng phẳng suy ra AB và CD chéo nhau.
b) Mặt phẳng trung trực của AB đi qua trung điểm \(I({3 \over 2};{3 \over 2};1)\) và có vecto pháp tuyến \(\overrightarrow {AB} (1;1;0)\) nên phương trình của nó là \((x – {3 \over 2}) + (y – {3 \over 2}) = 0\)
Tương tự, mặt phẳng trung trực của AC là \((y – {3 \over 2}) + (z – {3 \over 2}) = 0\) , mặt phẳng trung trực của AD là \((x – {3 \over 2}) + (z – {3 \over 2}) = 0\)
Tọa độ tâm I của mặt cầu đi qua A, B, C, D thỏa mãn hệ phương trình:
\(\left\{ {\matrix{{(x – {3 \over 2}) + (y – {3 \over 2}) = 0} \cr {(y – {3 \over 2}) + (z – {3 \over 2}) = 0} \cr {(x – {3 \over 2}) + (z – {3 \over 2}) = 0} \cr} } \right.\)
\(\Leftrightarrow \left\{ {\matrix{{(x – {3 \over 2}) + (y – {3 \over 2}) + (z – {3 \over 2}) = 0} \cr {(y – {3 \over 2}) + (z – {3 \over 2}) = 0} \cr {(x – {3 \over 2}) + (z – {3 \over 2}) = 0} \cr}} \right.\)
\(\Leftrightarrow \left\{ {\matrix{{x = {3 \over 2}} \cr {y = {3 \over 2}} \cr {z = {3 \over 2}} \cr} } \right.\)
Advertisements (Quảng cáo)
Vậy \(I({3 \over 2};{3 \over 2};{3 \over 2})\) . \(IA = \sqrt {{{({1 \over 2})}^2} + {{({1 \over 2})}^2} + {{({1 \over 2})}^2}} = {{\sqrt 3 } \over 2}\)
Phương trình mặt cầu phải tìm là \({(x – {3 \over 2})^2} + {(y – {3 \over 2})^2} + {(z – {3 \over 2})^2} = {3 \over 4}\).
Đề 2
ĐỀ 2 (45 PHÚT)
Cho hình hộp chữ nhật OAIB.CEDF có tọa độ các đỉnh là A(3; 0 ; 0), B(0; 4; 0), C(0; 0; 5) và O(0; 0 ;0).
a) (2 điểm) Xác định tọa độ đỉnh D. Viết phương trình tổng quát của mặt phẳng (ABD).
b) (2 điểm) Viết phương trình tham số của đường thẳng đi qua D và vuông góc với mặt phẳng (ABD).
c) (3 điểm) Viết phương trình mặt cầu (S) ngoại tiếp tứ diện ABCD.
d) (3 điểm) Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng AC và EF.
Hướng dẫn làm bài
a) D(3; 4; 5)
Ta có \(\overrightarrow {AD} = (0;4;5)\) và \(\overrightarrow {AB} = ( – 3;4;0)\) .
Suy ra (ABD) có vecto pháp tuyến \(\overrightarrow n = \overrightarrow {AD} \wedge \overrightarrow {AB} = ( – 20; – 15;12)\)
Phương trình của mặt phẳng (ABD) có dạng:
\(20(x – 3) + 15y – 12z = 0\) hay \(20x +15y – 12z – 60 = 0\)
Advertisements (Quảng cáo)
b) Phương trình tham số của đường thẳng \(\Delta \) đi qua D và vuông góc với mặt phẳng (ABD): \(\left\{ {\matrix{{x = 3 + 20t} \cr {y = 4 + 15t} \cr {z = 5 – 12t} \cr} } \right.\)
c) Mặt cầu (S) ngoại tiếp tứ diện ABCD cũng là mặt cầu ngoại tiếp tứ diện OABC. Giả sử phương trình của (S) là x2 + y2 + z2 + ax + by + cz + d = 0.
Với điều kiện \({({a \over 2})^2} + {({b \over 2})^2} + {({c \over 2})^2} – d \ge 0\) (*)
Vì (S) đi qua O, A, B, C nên thay tọa độ của O, A, B, C vào phương trình của (S) ta có :\(\left\{ {\matrix{{\matrix{{d = 0} \cr {9 + 3a = 0} \cr} } \cr {16 + 4b = 0} \cr {25 + 5c = 0} \cr} } \right. \Leftrightarrow \left\{ {\matrix{{d = 0} \cr {a = – 3} \cr {b = – 4} \cr {c = – 5} \cr} } \right.\) thỏa mãn điều kiện (*)
Vậy phương trình của (S) là x2 + y2 + z2 – 3x – 4y – 5z = 0
d) Ta có d(EF, AC) = d(EF, (ABC)) = d(E,(ABC))
\(\overrightarrow {OE} = \overrightarrow {OA} + \overrightarrow {OC} = (3;0;5) \Rightarrow E(3;0;5)\)
\(\overrightarrow {AB} = ( – 3;4;0),\overrightarrow {AC} = ( – 3;0;5)\)
\(\Rightarrow \overrightarrow {AB} \wedge \overrightarrow {AC} = (20;15;12)\)
Phương trình mặt phẳng (ABC) là \(20(x – 3) + 15y + 12z = 0\)
hay \(20x + 15y + 12z – 60 = 0.\)
Từ đó suy ra: \(d({\rm{EF}};AC) = {{|60 + 60 – 60|} \over {\sqrt {769} }} = {{60} \over {\sqrt {769} }}\)
Đề 3
ĐỀ 3 (45 PHÚT)
Trong không gian Oxyz cho bốn điểm A(2; 4; -1),B(1; 4; -1),C(2; 4; 3), D(2; 2; -1).
a) (2 điểm) Chứng minh rằng các đường thẳng AB, AC, AD vuông góc với nhau từng đôi một.
b) (2 điểm) Viết phương trình tham số của đường vuông góc chung \(\Delta \) của hai đường thẳng AB và CD.
c) (3 điểm) Viết phương trình mặt cầu (S) đi qua bốn điểm A, B, C, D.
d) (3 điểm) Viết phương trình mặt phẳng \((\alpha )\) tiếp xúc với mặt cầu (S) và song song với mặt phẳng (ABD).
Hướng dẫn làm bài
a) Ta có \(\overrightarrow {AB} = ( – 1;0;0);\overrightarrow {AC} = (0;0;4);\overrightarrow {AD} = (0; – 2;0)\)
\(\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {AC} = \overrightarrow {AC} .\overrightarrow {AD} = \overrightarrow {AD} .\overrightarrow {AB} = 0\) , suy ra \(AB \bot AC,AC \bot AD,AD \bot AB\)
Vậy AB, AC, AD vuông góc với nhau từng đôi một.
b) Gọi H là hình chiếu vuông góc của A trên CD. Ta có AH chính là đường vuông góc chung của AB và CD (hình 3.34)
\(\overrightarrow {AB} = ( – 1;0;0);\overrightarrow {CD} = (0; – 2; – 4)\)
Vecto chỉ phương của đường thẳng AH là \(\overrightarrow a = \overrightarrow {AB} \wedge \overrightarrow {CD} = (0; – 4;2)\).
Phương trình tham số của đường thẳng AH hay \(\Delta \) là \(\left\{ {\matrix{{x = 2} \cr {y = 4 – 4t} \cr {z = – 1 + 2t} \cr} } \right.\)
c) Gọi M trung điểm của CD. Vẽ trục \(\Delta \) của đường tròn (ACD), mặt phẳng trung trực của AB cắt \(\Delta \) tại I(a; b; c). Ta có I là tâm của mặt cầu (S) ngoại tiếp tứ diện ABCD (h.3.35)
Ta có M(2; 3; 1), \(\overrightarrow {MI} = {1 \over 2}\overrightarrow {AB} \Rightarrow \left\{ {\matrix{{a – 2 = – {1 \over 2}} \cr {b – 3 = 0} \cr {c – 1 = 0} \cr} } \right. \Rightarrow \left\{ {\matrix{{a = {3 \over 2}} \cr {b = 3} \cr {c = 1} \cr} } \right.\)
(S) có bán kính \(r = IA = \sqrt {{1 \over 4} + 1 + 4} = {{\sqrt {21} } \over 2}\)
Vậy phương trình mặt cầu (S) ngoại tiếp tứ diện ABCD là:
\({(x – {3 \over 2})^2} + {(y – 3)^2} + {(z – 1)^2} = {{21} \over 4}\)
d) Mặt phẳng \((\alpha )\) song song với (ABD) nên có vecto pháp tuyến là \(\overrightarrow {AC} = (0;0;4)\) hay \(\overrightarrow n = (0;0;1)\)
Phương trình \((\alpha )\) có dạng z + D = 0. Ta có:
\((\alpha )\) tiếp xúc với S(I, r) \( \Leftrightarrow d(I,(\alpha )) = r \Leftrightarrow |1 + D| = {{\sqrt {21} } \over 2} \Leftrightarrow \left[ {\matrix{{D = {{\sqrt {21} } \over 2} – 1} \cr {D = – {{\sqrt {21} } \over 2} – 1} \cr} } \right.\)
Vậy có hai mặt phẳng \((\alpha )\) thỏa mãn đề bài là: \(({\alpha _1}):z + {{\sqrt {21} } \over 2} – 1 = 0\) và \(({\alpha _2}):z – {{\sqrt {21} } \over 2} – 1 = 0\).
