Bài 3.69: Trong không gian Oxyz, cho bốn điểm A(1; 0; 0), B(0; 1; 0), C(0; 0; 1) và D(1; 1; 0).
a) Viết phương trình mặt cầu (S) đi qua bốn điểm A, B, C, D.
b) Xác định tọa độ tâm và bán kính của đường tròn là giao tuyến của mặt cầu (S) với mặt phẳng (ACD).
a) Phương trình mặt cầu (S) có dạng x2 + y2 + z2 –2ax – 2by – 2cz + d = 0 (*)
Thay tọa độ các điểm A, B, C, D vào (*) ta có:
\(\left\{ {\matrix{{1 – 2a + d = 0} \cr {1 – 2b + d = 0} \cr {1 – 2c + d = 0} \cr {2 – 2a – 2b + d = 0} \cr} } \right.\Leftrightarrow \left\{ {\matrix{{a = {1 \over 2}} \cr {b = {1 \over 2}} \cr {c = {1 \over 2}} \cr {d = 0} \cr} } \right.\)
Vậy phương trình mặt cầu (S) là: x2 + y2 + z2 – x – y – z = 0
b) Ta có \(\overrightarrow {AC} = ( – 1;0;1)\) và \(\overrightarrow {AD} = (0;1;0)\)
Suy ra (ACD) có vecto pháp tuyến \(\overrightarrow n = \overrightarrow {AC} \wedge \overrightarrow {AD} = ( – 1;0; – 1)\) hay \(\overrightarrow {n’} = (1;0;1)\)
Vậy phương trình của mặt phẳng (ACD) là x – 1 + z = 0 hay x + z – 1 = 0
Mặt cầu (S) có tâm \(I({1 \over 2};{1 \over 2};{1 \over 2})\)
Ta có \(I \in (ACD)\), suy ra mặt phẳng (ACD) cắt (S) theo một đường tròn có tâm \(I({1 \over 2};{1 \over 2};{1 \over 2})\) và có bán kính r bằng bán kính mặt cầu (S), vậy: \(r = \sqrt {{a^2} + {b^2} + {c^2} – d} = \sqrt {{1 \over 4} + {1 \over 4} + {1 \over 4}} = {{\sqrt 3 } \over 2}\).
Bài 3.70: Cho hai đường thẳng \({\Delta _1}:{x \over 2} = {{y + 2} \over 3} = {z \over 4}\) và \({\Delta _2}:\left\{ {\matrix{{x = 1 + t} \cr {y = 2 + t} \cr {z = 1 + 2t} \cr} } \right.\)
Advertisements (Quảng cáo)
a) Viết phương trình mặt phẳng \((\alpha )\) chứa \({\Delta _1}\) và song song với \({\Delta _2}\)
b) Cho điểm M(2; 1; 4). Tìm tọa độ điểm H thuộc đường thẳng \({\Delta _2}\) sao cho đoạn thẳng MH có độ dài nhỏ nhất.
a) Phương trình tham số của đường thẳng \({\Delta _1}:\left\{ {\matrix{{x = 2t’} \cr {y = – 2 + 3t’} \cr {z = 4t’} \cr} } \right.\)
\({\Delta _1}\) đi qua điểm M1(0; -2; 0) và có vecto chỉ phương \(\overrightarrow {{a_1}} = (2;3;4)\)
\({\Delta _2}\) đi qua điểm M2 (1; 2; 1) và có vecto chỉ phương \(\overrightarrow {{a_2}} = (1;1;2)\)
Mặt phẳng \((\alpha )\) có vecto pháp tuyến \(\overrightarrow n = \overrightarrow {{a_1}} \wedge \overrightarrow {{a_2}} = (2;0; – 1)\)
\((\alpha )\) đi qua điểm M1(0; -2; 0) và có vecto pháp tuyến \(\overrightarrow n \), vậy phương trình của \((\alpha )\) là: 2x – z = 0
Advertisements (Quảng cáo)
b) Xét điểm \(H(1 + t;2 + t;1 + 2t) \in {\Delta _2}\)
\(\overrightarrow {MH} = (t – 1;t + 1;2t – 3)\)
Ta có: MH nhỏ nhất \(\Leftrightarrow MH \bot {\Delta _2} \Leftrightarrow \overrightarrow {MH} .\overrightarrow {{a_2}} = 0\)
\(\Leftrightarrow t – 1 + t +1 + 2(2t – 3) = 0 \Leftrightarrow t = 1\)
Vậy ta được H(2; 3; 3)
Bài 3.71: Trong không gian Oxyz, cho điểm D(-3; 1 ; 2) và mặt phẳng \((\alpha )\) đi qua ba điểm A(1; 0; 11), B(0; 1; 10), C(1; 1; 8).
a) Viết phương trình đường thẳng AC.
b) Viết phương trình tổng quát của mặt phẳng \((\alpha )\).
c) Viết phương trình mặt cầu (S) tâm D, bán kính r = 5. Chứng minh mặt phẳng \((\alpha )\) cắt mặt cầu (S).
a) Đường thẳng AC có vecto chỉ phương \(\overrightarrow {AC} = (0;1; – 3)\)
Phương trình tham số của đường thẳng AC: \(\left\{ {\matrix{{x = 1} \cr {y = t} \cr {z = 11 – 3t} \cr} } \right.\)
b) Ta có: \(\overrightarrow {AB} = ( – 1;1; – 1)\) và \(\overrightarrow {AC} = (0;1; – 3)\)
\(\overrightarrow n = \overrightarrow {AB} \wedge \overrightarrow {AC} = ( – 2; – 3; – 1)\)
Suy ra \((\alpha )\) có vecto pháp tuyến \(\overrightarrow n = ( – 2; – 3; – 1)\)
Mặt phẳng \((\alpha )\) có phương trình:
\( 2(x – 1) + 3(y) + (z – 11) = 0\) hay \(2x + 3y + z – 13 = 0\)
c) Phương trình mặt cầu (S) tâm D bán kính 5: (x + 3)2 + (y – 1)2 + (z – 2)2 = 25
Ta có \(d(D,(\alpha )) = {{|2.( – 3) + 3.(1) + (2) – 13|} \over {\sqrt {4 + 9 + 1} }} = {{14} \over {\sqrt {14} }} = \sqrt {14} < 5\)
Do đó \(d(D,(\alpha )) < r\) . Vậy mặt phẳng \((\alpha )\) cắt mặt cầu (S).
