Bài 3.50: Lập phương trình mặt phẳng (P) đi qua điểm I(-1; -1; 1) và chứa đường thẳng d: \({{x + 2} \over { – 1}} = {{y – 1} \over 4} = {{z – 1} \over { – 1}}\)
Đường thẳng d đi qua M(-2; 1; 1) có vecto chỉ phương \(\overrightarrow a ( – 1;4; – 1)\)
Ta có: \(\overrightarrow {MI} (1; – 2;0)\) , chọn \(\overrightarrow {{n_P}} = \overrightarrow {MI} \wedge \overrightarrow a = (2;1;2)\)
Phương trình của (P) là: \(2(x + 2) +(y – 1) + 2(z – 1) = 0\) hay \(2x + y + 2z +1 = 0\)
Bài 3.51: Lập phương trình mặt phẳng (P) chứa đường thẳng d: \(\left\{ {\matrix{{x = – 2 – t} \cr {y = 1 + 4t} \cr {z = 1 – t} \cr} } \right.\) và song song với d1: \({{x – 1} \over 1} = {{y – 1} \over 4} = {{z – 1} \over { – 3}}\)
Đường thẳng d đi qua M(-2; 1;1) có vecto chỉ phương là \(\overrightarrow a ( – 1;4; – 1)\)
Đường thẳng d1 đi qua N(1; 1; 1) có vecto chỉ phương là \(\overrightarrow b (1;4; – 3)\)
Ta có: \(\overrightarrow {MN} (3;0;0);\overrightarrow a \wedge \overrightarrow b = ( – 8; – 4; – 8)\) nên \(\overrightarrow {MN} (\overrightarrow a \wedge \overrightarrow b ) \ne 0\) , suy ra d và d1 chéo nhau. Do đó (P) là mặt phẳng đi qua M(-2; 1; 1) có vecto pháp tuyến bằng \(\overrightarrow a \wedge \overrightarrow b \)
Advertisements (Quảng cáo)
Phương trình của (P) là: \(–8(x + 2) – 4(y – 1) – 8(z – 1) = 0\) hay \(2x +y + 2z + 1 = 0\)
Bài 3.52: Lập phương trình mặt phẳng (P) song song và cách đều hai mặt phẳng
(P1): 2x + y + 2z +1 = 0 và (P2): 2x + y + 2z +5 = 0.
Ta có: \(M(x,y,z) \in (P) \Leftrightarrow d(M,({P_1})) = d(M,({P_2}))\)
Advertisements (Quảng cáo)
\(\Leftrightarrow | 2x + y + 2z + 1| = |2x + y + 2z + 5|\)
\(\Leftrightarrow 2x + y + 2z + 1 = –(2x + y + 2z + 5)\)
\(\Leftrightarrow 2x + y + 2z + 3 = 0\)
Từ đó suy ra phương trình của (P) là: \(2x + y + 2z + 3 = 0.\)
Bài 3.53: Cho hai mặt phẳng:
(P1): 2x + y + 2z +1 = 0 và (P2): 4x – 2y – 4z + 7 = 0.
Lập phương trình mặt phẳng sao cho khoảng cách từ mỗi điểm của nó đến (P1) và (P2) là bằng nhau.
Ta có: \(M(x,y,z) \in (P) \Leftrightarrow d(M,({P_1})) = d(M,({P_2}))\)
\(\Leftrightarrow {{|2x + y + 2z + 1|} \over {\sqrt {4 + 1 + 4} }} = {{|4x – 2y – 4z + 7|} \over {\sqrt {16 + 4 + 16} }}\)
\(\Leftrightarrow 2|2x + y + 2z + 1| = |4x – 2y – 4z + 7|\)
\(\Leftrightarrow \left[ {\matrix{{4x + 2y + 4z + 2 = 4x – 2y – 4z + 7} \cr {4x + 2y + 4z + 2 = – (4x – 2y – 4z + 7)} \cr} } \right.\)
\(\Leftrightarrow \left[ {\matrix{{4y + 8z – 5 = 0} \cr {8x + 9 = 0} \cr} } \right.\)
Từ đó suy ra phương trình mặt phẳng phải tìm là: \(4y + 8z – 5 = 0\) hoặc \(8x + 9 = 0\)
