Bài 3.63: Trong không gian Oxyz, cho ba điểm A(1; 0; 0), B(1; 1; 1), \(C({1 \over 3};{1 \over 3};{1 \over 3})\)
a) Viết phương trình tổng quát của mặt phẳng \((\alpha )\) đi qua O và vuông góc với OC.
b) Viết phương trình mặt phẳng \((\beta )\) chứa AB và vuông góc với \((\alpha )\).
a) Mặt phẳng \((\alpha )\) có vecto pháp tuyến là \(\overrightarrow {OC} = ({1 \over 3};{1 \over 3};{1 \over 3})\) hay \(\overrightarrow n = 3\overrightarrow {OC} = (1;1;1)\)
Phương trình mặt phẳng \((\alpha )\) là x + y + z = 0.
b) Gọi \((\beta )\) là mặt phẳng chứa AB và vuông góc với mặt phẳng \((\alpha )\) . Hai vecto có giá song song hoặc nằm trên là: \(\overrightarrow {AB} = (0;1;1)\) và \(\overrightarrow {{n_\alpha }} = (1;1;1)\)
Suy ra \((\beta )\) có vecto pháp tuyến \(\overrightarrow {{n_\beta }} = (0;1; – 1)\)
Advertisements (Quảng cáo)
Phương trình mặt phẳng \((\beta )\) là y – z = 0
Bài 3.64: Trong không gian Oxyz, cho hai mặt phẳng \((\beta )\) : x + 3ky – z + 2 = 0 và \((\gamma )\) : kx – y + z + 1 = 0
Tìm k để giao tuyến của \((\beta )\) và \((\gamma )\) vuông góc với mặt phẳng
\((\alpha ) : x – y – 2z + 5 = 0.\)
Advertisements (Quảng cáo)
Ta có \(\overrightarrow {{n_\beta }} = (1;3k; – 1)\) và \(\overrightarrow {{n_\gamma }} = (k; – 1;1)\) . Gọi \({d_k} = \beta \cap \gamma \)
Đường thẳng dk vuông góc với giá của \(\overrightarrow {{n_\beta }} \) và \(\overrightarrow {{n_\gamma }} \) nên có vecto chỉ phương là: \(\overrightarrow a = \overrightarrow {{n_\beta }} \wedge \overrightarrow {{n_\gamma }} = (3k – 1; – k – 1; – 1 – 3{k^2})\)
Ta có: \({d_k} \bot (\alpha ) \Leftrightarrow {{3k – 1} \over 1} = {{ – k – 1} \over { – 1}} = {{ – 1 – 3{k^2}} \over { – 2}} \Leftrightarrow k = 1\).
Bài 3.65: Trong không gian Oxyz, cho hình hộp chữ nhật ABCD.A’B’C’D’ có A(0; 0; 0), B(a; 0; 0), D(0; a; 0), A’(0; 0; b) với a > 0 và b> 0. Gọi M là trung điểm cạnh CC’.
Xác định tỉ số \({a \over b}\) để hai mặt phẳng (A’BD) và (MBD) vuông góc với nhau.
Mặt phẳng (A’BD) có vecto pháp tuyến \(\overrightarrow {{n_1}} = \overrightarrow {BD} \wedge \overrightarrow {BA’} = (ab;ab;{a^2})\)
Mặt phẳng (BDM) có vecto pháp tuyến \(\overrightarrow {{n_2}} = \overrightarrow {BD} \wedge \overrightarrow {BM} = ({{ab} \over 2};{{ab} \over 2}; – {a^2})\)
Ta có \((BDM) \bot (A’BD) \Leftrightarrow \overrightarrow {{n_1}} .\overrightarrow {{n_2}} = 0 \)
\(\Leftrightarrow {{{a^2}{b^2}} \over 2} + {{{a^2}{b^2}} \over 2} – {a^4} = 0\)
\(\Leftrightarrow a = b \Leftrightarrow {a \over b} = 1\)
