Bài 3.54: Cho hai đường thẳng d: \(\left\{ {\matrix{{x = 6} \cr {y = – 2t} \cr {z = 7 + t} \cr} } \right.\) và d1: \(\left\{ {\matrix{{x = – 2 + t’} \cr {y = – 2} \cr {z = – 11 – t’} \cr} } \right.\)
Lập phương trình mặt phẳng (P) sao cho khoảng cách từ d và d1 đến (P) là bằng nhau.
Đường thẳng d đi qua M(6; 0 ;7) có vecto chỉ phương \(\overrightarrow a (0; – 2;1)\). Đường thẳng d1 đi qua N(-2; -2; -11) có vecto chỉ phương \(\overrightarrow b (1;0; – 1)\).
Do d và d1 chéo nhau nên (P) là mặt phẳng đi qua trung điểm của đoạn vuông góc chung AB của d, d1 và song song với d và d1.
Để tìm tọa độ của A, B ta làm như sau:
Lấy điểm A(6; – 2t; 7 + t) thuộc d, B( -2 + t’; -2 ; -11 – t’) thuộc d1. Khi đó: \(\overrightarrow {AB} = ( – 8 + t’; – 2 + 2t; – 18 – t – t’)\)
Ta có: \(\left\{ {\matrix{{\overrightarrow {AB} \bot \overrightarrow a } \cr {\overrightarrow {AB} \bot \overrightarrow b } \cr} } \right. \Leftrightarrow \left\{ {\matrix{{\overrightarrow {AB} .\overrightarrow a = 0} \cr {\overrightarrow {AB}.\overrightarrow b = 0} \cr} } \right. \)
\(\Leftrightarrow \left\{ {\matrix{{ – 2( – 2 + 2t) + ( – 18 – t – t’) = 0} \cr { – 8 + t’ – ( – 18 – t – t’) = 0} \cr} } \right.\)
\(\Leftrightarrow \left\{ {\matrix{{ – 5t – t’ – 14 = 0} \cr {t + 2t’ + 10 = 0} \cr} } \right. \Leftrightarrow \left\{ {\matrix{{t = – 2} \cr {t’ = – 4} \cr} } \right.\)
Suy ra A(6; 4; 5), B(-6; -2; -7)
Trung điểm của AB là I(0; 1; -1)
Ta có: \(\overrightarrow {AB} = ( – 12; – 6; – 12)\) . Chọn \(\overrightarrow {{n_P}} = (2;1;2)\)
Advertisements (Quảng cáo)
Phương trình của (P) là: 2x + (y – 1) + 2(z + 1) = 0 hay 2x + y +2z + 1 = 0.
Có thể tìm tọa độ của A, B bằng cách khác:
Ta có: Vecto chỉ phương của đường vuông góc chung của d và d1là:
\(\eqalign{& \overrightarrow a \wedge \overrightarrow b = \left( {\left| {\matrix{{\matrix{{ – 2} \cr 0 \cr} } & {\matrix{1 \cr { – 1} \cr} } \cr} } \right|;\left| {\matrix{{\matrix{1 \cr { – 1} \cr} } & {\matrix{0 \cr 1 \cr} } \cr} } \right|;\left| {\matrix{{\matrix{0 \cr 1 \cr} } & {\matrix{{ – 2} \cr 0 \cr} } \cr} } \right|} \right) \cr & = \left( {2;1;2} \right) \cr} \)
Gọi (Q) là mặt phẳng chứa d và đường vuông góc chung AB.
Khi đó:
\(\eqalign{& \overrightarrow {{n_Q}} = \overrightarrow a \wedge \left( {\overrightarrow a \wedge \overrightarrow b } \right) \cr & = \left( {\left| {\matrix{{\matrix{{ – 2} \cr 1 \cr} } & {\matrix{1 \cr 2 \cr} } \cr} } \right|;\left| {\matrix{{\matrix{1 \cr 2 \cr} } & {\matrix{0 \cr 2 \cr} } \cr} } \right|;\left| {\matrix{{\matrix{0 \cr 2 \cr} } & {\matrix{{ – 2} \cr 1 \cr} } \cr} } \right|} \right) = ( – 5;2;4) \cr} \)
Phương trình của (Q) là : \(–5(x – 6) + 2y + 4(z – 7) = 0\) hay \(–5x + 2y + 4z + 2 = 0\)
Để tìm \({d_1} \cap (Q)\) ta thế phương trình của d1 vào phương trình của (Q). Ta có:
Advertisements (Quảng cáo)
\(–5(–2 + t’) + 2(–2) +4(–11 – t’ ) + 2 = 0\)
\(\Rightarrow t’ = 4\)
\(\Rightarrow {d_1} \cap (Q) = B( – 6; – 2; – 7)\)
Tương tự, gọi (R) là mặt phẳng chứa d1 và đường vuông góc chung AB. Khi đó: \(\overrightarrow {{n_R}} = ( – 1;4; – 1)\)
Phương trình của (R) là \( –x + 4y – z – 5 = 0.\)
Suy ra \(d \cap (R) = A(6;4;5)\)
Bài 3.55: Lập phương trình mặt phẳng (P) đi qua điểm M(1; -3; 2) và vuông góc với hai mặt phẳng (Q): 2x – y +3z + 1 = 0 và (R): x – 2y – z + 8 = 0 ?
Chọn: \(\eqalign{& \overrightarrow {{n_P}} = \overrightarrow {{n_Q}} \wedge \overrightarrow {{n_R}} \cr & = \left( {\left| {\matrix{{\matrix{{ – 1} \cr { – 2} \cr} } & {\matrix{3 \cr { – 1} \cr} } \cr} } \right|;\left| {\matrix{{\matrix{3 \cr { – 1} \cr} } & {\matrix{2 \cr 1 \cr} } \cr} } \right|;\left| {\matrix{{\matrix{2 \cr 1 \cr} } & {\matrix{{ – 1} \cr { – 2} \cr} } \cr} } \right|} \right) = \left( {7;5; – 3} \right) \cr} \)
Phương trình của (P) là:
\(7(x – 1) + 5(y +3) – 3(z – 2) = 0\)
Hay \(7x + 5y – 3z +14 = 0\)
Bài 3.56: Lập phương trình tham số của đường thẳng d đi qua hai điểm phân biệt M0(x0 ;y0; z0) và M1(x1, y1, z1)
Đường thẳng d đi qua M0 và có vecto chỉ phương \(\overrightarrow {{M_0}{M_1}} \)
Do đó phương trình tham số của d là:
\(\left\{ {\matrix{{x = {x_0} + ({x_1} – {x_0})t} \cr {y = {y_0} + ({y_1} – {y_0})t} \cr {z = {z_0} + ({z_1} – {z_0})t} \cr} } \right.\)
Bài 3.57: Lập phương trình tham số của đường thẳng d đi qua điểm M0(x0, y0, z0) và vuông góc với mặt phẳng (P): Ax + By + Cz + D = 0.
Đường thẳng d đi qua M0 và có vecto chỉ phương \(\overrightarrow {{n_P}} (A;B;C)\)
Do đó phương trình tham số của d là: \(\left\{ {\matrix{{x = {x_0} + At} \cr {y = {y_0} + Bt} \cr {z = {z_0} + Ct} \cr} } \right.\)
