Bài 3.58: Lập phương trình tham số của đường thẳng d đi qua điểm M0(x0, y0, z0) và song song với hai mặt phẳng cắt nhau
(P) Ax + By + Cz + D = 0 và (Q): A’x + B’y + C’z + D’ = 0
Do (P) và (Q) cắt nhau nên \(\overrightarrow {{n_P}} \wedge \overrightarrow {{n_Q}} \ne \overrightarrow 0 \) . Đường thẳng d đi qua M0và có vecto chỉ phương
\(\overrightarrow {{n_P}} \wedge \overrightarrow {{n_Q}} = (\left| {\matrix{{\matrix{B \cr {B’} \cr} } & {\matrix{C \cr {C’} \cr} } \cr} } \right|;\left| {\matrix{{\matrix{C \cr {C’} \cr} } & {\matrix{A \cr {A’} \cr} } \cr} } \right|;\left| {\matrix{{\matrix{A \cr {A’} \cr} } & {\matrix{B \cr {B’} \cr}} \cr} } \right|)\)
Do đó phương trình tham số của d là: \(\left\{ {\matrix{{x = {x_0} + \left| {\matrix{{\matrix{B \cr {B’} \cr} } & {\matrix{C \cr {C’} \cr} } \cr} } \right|t} \cr {y = {y_0} + \left| {\matrix{{\matrix{C \cr {C’} \cr} } & {\matrix{A \cr {A’} \cr} } \cr} } \right|t} \cr {z = {z_0} + \left| {\matrix{{\matrix{A \cr {A’} \cr} } & {\matrix{B \cr {B’} \cr} } \cr} } \right|t} \cr} } \right.\)
Đặc biệt phương trình trên cũng là phương trình đường thẳng là giao của hai mặt phẳng cắt nhau (P): Ax + By + Cz + D = 0 và (Q): A’x + B’y + C’z + D’ = 0 với M0 là điểm chung của (P) và (Q).
Bài 3.59: Cho mặt phẳng (P) : x + 2y – 2z + 3 = 0 và đường thẳng d: \(\left\{ {\matrix{{x = 1 + t} \cr {y = 1 + t} \cr {z = 9} \cr} } \right.\)
Lập phương trình đường thẳng d’ là hình chiếu vuông góc của d lên mặt phẳng (P).
Advertisements (Quảng cáo)
Đường thẳng d đi qua A(1; 1; 9) và có vecto chỉ phương \(\overrightarrow a (1;1;0)\). Gọi (Q) là mặt phẳng đi qua d và vuông góc với (P).
Ta có: \(\overrightarrow {{n_Q}} = \overrightarrow a \wedge \overrightarrow {{n_P}} = ( – 2;2;1)\)
Phương trình của (Q) là : -2x + 2y + z – 9 = 0
Khi đó: \(d’ = (P) \cap (Q)\)
Advertisements (Quảng cáo)
Ta có: \(\overrightarrow {{n_P}} \wedge \overrightarrow {{n_Q}} = (6;3;6)\)
Chọn vecto chỉ phương của d’ là: \(\overrightarrow {{a_{d’}}} = (2;1;2)\)
Lấy một điểm thuộc \((P) \cap (Q)\), chẳng hạn A(-3; 1; 1)
Khi đó, phương trình của d’ là: \(\left\{ {\matrix{{x = – 3 + 2t} \cr {y = 1 + t} \cr {z = 1 + 2t} \cr} } \right.\)
Bài 3.60: Trong không gian Oxyz, cho điểm A(-4; -2; 4) và đường thẳng d: \(\left\{ {\matrix{{x = – 3 + 2t} \cr {y = 1 – t} \cr {z = – 1 + 4t} \cr} } \right.\)
Viết phương trình đường thẳng \(\Delta \) đi qua A , cắt và vuông góc với đường thẳng d.
Ta có: \(\overrightarrow {{a_d}} = (2; – 1;4)\)
Xét điểm B(–3 + 2t; 1 – t ; –1 + 4t) thì \(\overrightarrow {AB} = (1 + 2t;3 – t; – 5 + 4t)\)
\(AB \bot d \Leftrightarrow \overrightarrow {AB} .\overrightarrow {{a_d}} = 0\)
\(\Leftrightarrow 2(1 + 2t) – (3 – t) + 4( – 5 + 4t) = 0 \Leftrightarrow t = 1\)
Suy ra \(\overrightarrow {AB} = (3;2; – 1)\)
Vậy phương trình của \(\Delta \) là: \({{x + 4} \over 3} = {{y + 2} \over 2} = {{z – 4} \over { – 1}}\)
