Bài 1.5: Xác định m để hàm số sau:
a) \(y = {{mx – 4} \over {x – m}}\)đồng biến trên từng khoảng xác định;
b) \(y = {{ – mx – 5m + 4} \over {x + m}}\) nghịch biến trên từng khoảng xác định;
c) \(y = – {x^3} + m{x^2} – 3x + 4\) nghịch biến trên ;
d) \(y = {x^3} – 2m{x^2} + 12x – 7\) đồng biến trên R.
a) Tập xác định: D = R\{m}
Hàm số đồng biến trên từng khoảng \(( – \infty ;m),(m; + \infty )\)khi và chỉ khi:
\(\eqalign{
& y’ = {{ – {m^2} + 4} \over {{{(x – m)}^2}}} > 0 \Leftrightarrow – {m^2} + 4 > 0 \cr
& \Leftrightarrow {m^2} < 4 \Leftrightarrow – 2 < m < 2 \cr} \)
b) Tập xác định: D = R\{m}
Hàm số nghịch biến trên từng khoảng khi và chỉ khi:
\(y’ = {{ – {m^2} + 5m – 4} \over {{{(x + m)}^2}}} < 0 \Leftrightarrow – {m^2} + 5m-4 < 0\)
\(\left[ \matrix{
m < 1 \hfill \cr
m > 4 \hfill \cr} \right.\)
c) Tập xác định: D = R
Hàm số nghịch biến trên R khi và chỉ khi:
\(\eqalign{
& y’ = – 3{x^2} + 2mx – 3 \le 0 \Leftrightarrow ‘ = {m^2} – 9 \le 0 \Leftrightarrow {m^2} \le 9 \cr
& \Leftrightarrow – 3 \le m \le 3 \cr} \)
d) Tập xác định: D = R
Hàm số đồng biến trên R khi và chỉ khi:
\(\eqalign{
& y’ = 3{x^2} – 4mx + 12 \ge 0 \Leftrightarrow ‘ = 4{m^2} – 36 \le 0 \cr
& \Leftrightarrow {m^2} \le 9 \Leftrightarrow – 3 \le m \le 3 \cr} \)
Bài 1.6: Chứng minh các phương trình sau có nghiệm duy nhất
Advertisements (Quảng cáo)
a) \(3(c{\rm{os x – 1) + }}{\rm{2sin x + 6x = 0}}\)
b) \(4x + c{\rm{os x – 2sin x – 2 = 0}}\)
c) \( – {x^3} + {x^2} – 3x + 2 = 0\)
d) \({x^5} + {x^3} – 7 = 0\)
a) Đặt y = 3(cos x – 1) + 2sin x + 6
Hàm số xác định, liên tục và có đạo hàm tại mọi x ∈ R
Ta có: y( ) = 0 và ý = -3sin x + 2cos x + 6 >0, x ∈ R.
Hàm số đồng biến trên R và có một nghiệm \(x = \pi \)
Vậy phương trình đã cho có một nghiệm duy nhất.
b) Đặt \(y = 4x + \cos x – 2\sin x – 2\)
Hàm số xác định, liên tục và có đạo hàm tại mọi x ∈ R
Advertisements (Quảng cáo)
Ta có: y(0) = 1 – 2 = -1 < 0 ; \(y(\pi ) = 4\pi – 3 > 0\) .
Hàm số liên tục trên \({\rm{[}}0;\pi {\rm{]}}\) và y’(0) < 0 nên tồn tại \({x_0} \in (0;\pi )\) sao cho \(y({x_0}) = 0\) .
Suy ra phương trình có một nghiệm \({x_0}\) .
c) Đặt y = – x3 + x2 – 3x + 2
Hàm số xác định, liên tục và có đạo hàm trên R.
Ta có: y’ = – x2 + 2x – 3 < 0, \(y(\pi ) = 4\pi – 3 > 0\), x ∈ R.
Vì a = -3 < 0 và . Suy ra y nghịch biến trên R.
Mặt khác y(-1) = 1 + 1 +3 + 2 = 7 > 0
y(1) = -1 +1 – 3 + 2 = -1 < 0
Hàm số liên tục trên [-1; 1] và y(-1)y(1) < 0 cho nên tồn tại \({x_0} \in {\rm{[}} – 1;1]\) sao cho \(y({x_0}) = 0\) .
Suy ra phương trình đã cho có đúng một nghiệm.
d) Đặt y = x5 + x3 – 7
Hàm số xác định, liên tục và có đạo hàm trên R.
Ta có: y(0) = -7 < 0 ; y(2) = 32 + 8 – 7 = 33 > 0
Hàm số liên tục trên [0; 2] và y(0) y(2) < 0 cho nên tồn tại \({x_0} \in (0;2)\) sao cho \(y({x_0}) = 0\)
Mặt khác \(y’ = 5{x^4} + 3{x^2} = {x^2}(5{x^2} + 3) \ge 0,\forall x \in R\)
=> Hàm số đồng biến trên \(( – \infty ; + \infty )\).
Suy ra phương trình đã cho có đúng một nghiệm.
Bài 1.7: Chứng minh phương trình \({x^5} – {x^2} – 2x – 1 = 0\) có nghiệm duy nhất
(Đề thi đại học năm 2004)
Trước hết cần tìm điều kiện của nghiệm phương trình (tức là xem nghiệm phương trình, nếu có, phải nằm trong khoảng nào). Ta nhận xét
x5 – x2 – 2x – 1 = 0 ⇔ x5 = (x + 1)2 0 => x ≥ 0
=> (x + 1)2 1 => x5 1 => x 1
Vậy, nếu có, nghiệm của phương trình phải thuộc \({\rm{[}}1; + \infty {\rm{]}}\) .
Xét hàm số \(f(x) = {x^5} – {x^2} – 2x – 1\) ta thấy f(x) liên tục trên R
Mặt khác, \(f(1) = – 3 < 0,f(2) = 23 > 0\)
Vì f(x) liên tục trên [1; 2] và f(1) f(2) < 0 nên tồn tại \({x_0} \in (1;2)\) sao cho \(f({x_0}) = 0\)
Ta có: f’(x) = 5x4 – 2x – 2 = (2x4 – 2x) + (2x4 – 2) + x4
= 2x(x3 – 1) + 2(x4 – 1) + x4 > 0 , \(\forall x \ge 1\)
Suy ra f(x) đồng biến trên \({\rm{[}}1; + \infty {\rm{]}}\)
