Bài 3.66: Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình thoi ABCD, AC cắt BD tại gốc tọa độ O. Biết A(2; 0; 0), B(0; 1; 0),\(S(0;0;2\sqrt 2 )\) . Gọi M là trung điểm cạnh SC.
a) Viết phương trình mặt phẳng chứa SA và song song với BM.
b) Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng SA và BM.
a) Ta có C(-2; 0; 0) và \(M( – 1;0;\sqrt 2 )\)
Gọi \((\alpha )\) là mặt phẳng chứa SA và song song với BM. Hai vecto có giá song song hoặc nằm trên \((\alpha )\) là \(\overrightarrow {SA} = (2;0; – 2\sqrt 2 )\) và \(\overrightarrow {BM} = ( – 1; – 1;\sqrt 2 )\)
Suy ra vecto pháp tuyến của \((\alpha )\) là : \(\overrightarrow n = ( – 2\sqrt 2 ;0; – 2)\) hay \(\overrightarrow n ‘ = (\sqrt 2 ;0;1)\)
Mặt phẳng \((\alpha )\) có phương trình: \(\sqrt 2 (x – 2) + z = 0\) hay \(\sqrt 2 x + z – 2\sqrt 2 = 0\)
b) Ta có \(d\left( {SA,{\rm{ }}BM} \right){\rm{ }} = d(B;(\alpha )) = {{| – 2\sqrt 2 |} \over {\sqrt {2 + 1} }} = {{2\sqrt 2 } \over {\sqrt 3 }}\)
Vậy khoảng cách giữa hai đường thẳng SA và BM là \({{2\sqrt 6 } \over 3}\).
Bài 3.67: Cho mặt phẳng (P): 2x – 3y + 4z – 5 = 0 và mặt cầu (S):
x2 + y2 + z2 + 3x + 4y – 5z + 6 = 0
Advertisements (Quảng cáo)
a) Xác định tọa độ tâm I và bán kính r của mặt cầu (S).
b) Tính khoảng cách từ tâm I đến mặt phẳng (P). Từ đó chứng minh rằng mặt phẳng (P) cắt mặt cầu (S) theo một đường tròn mà ta kí hiệu là (C). Xác định bán kính r’ và tâm H của đường tròn (C) .
a) (S) có tâm \(I( – {3 \over 2}; – 2;{5 \over 2})\) và có bán kính \(r = \sqrt {{9 \over 4} + 4 + {{25} \over 4} – 6} = {{\sqrt {26} } \over 2}\)
b) \(d(I,(P)) = {{|2.( – {3 \over 2}) – 3.( – 2) + 4.({5 \over 2}) – 5|} \over {\sqrt {4 + 9 + 16} }} = {8 \over {\sqrt {29} }} < {{\sqrt {26} } \over 2}\)
Vậy d(I, (P)) < r
Suy ra mặt phẳng (P) cắt mặt cầu (S) theo đường tròn tâm H bán kính r’.
H chính là hình chiếu vuông góc của I xuống mặt phẳng (P). Gọi \(\Delta \) là đường thẳng qua I và vuông góc với (P). Ta có vecto chỉ phương của \(\Delta \) là
Advertisements (Quảng cáo)
\(\overrightarrow {{a_\Delta }} = \overrightarrow {{n_{(P)}}} = (2; – 3;4)\)
Phương trình tham số của \(\Delta \) : \(\left\{ {\matrix{{x = – {3 \over 2} + 2t} \cr {y = – 2 – 3t} \cr {z = {5 \over 2} + 4t} \cr} } \right.\)
\(\Delta \) cắt (P) tại \(H( – {3 \over 2} + 2t; – 2 – 3t;{5 \over 2} + 4t)\). Ta có:
\(H \in (\alpha ) \Leftrightarrow 2( – {3 \over 2} + 2t) – 3( – 2 – 3t) + 4({5 \over 2} + 4t) – 5 = 0\)
\( \Leftrightarrow 29t + 8 = 0 \Leftrightarrow t = – {8 \over {29}}\)
Suy ra tọa độ \(H( – {3 \over 2} – {{16} \over {29}}; – 2 + {{24} \over {29}};{5 \over 2} – {{32} \over {29}})\) hay
Ta có \(r{‘^2} = {r^2} – {d^2}(I,(P)) = {{26} \over 4} – {{64} \over {29}} = {{249} \over {58}}\) . Suy ra \(r’ = \sqrt {{{249} \over {58}}} \)
Bài 3.68: Trong không gian Oxyz, cho bốn điểm A(6; -2; 3), B(0; 1; 6), C(2; 0 ; -1), D(4; 1; 0). Gọi (S) là mặt cầu đi qua bốn điểm A, B, C, D. Hãy viết phương trình mặt phẳng tiếp xúc với mặt cầu (S) tại điểm A.
Tâm I(x, y, z) của (S) có tọa độ là nghiệm của hệ phương trình
\(\left\{ {\matrix{{I{A^2} = I{B^2}} \cr {I{A^2} = I{C^2}} \cr {I{A^2} = I{D^2}} \cr} } \right. \)
\(\Leftrightarrow \left\{ {\matrix{{{{(x – 6)}^2} + {{(y + 2)}^2} + {{(z – 3)}^2} = {x^2} + {{(y – 1)}^2} + {{(z – 6)}^2}} \cr {{{(x – 6)}^2} + {{(y + 2)}^2} + {{(z – 3)}^2} = {{(x – 2)}^2} + {y^2} + {{(z + 1)}^2}} \cr {{{(x – 6)}^2} + {{(y + 2)}^2} + {{(z – 3)}^2} = {{(x – 4)}^2} + {{(y – 1)}^2} + {z^2}} \cr} } \right.\)
\( \Leftrightarrow \left\{ {\matrix{{12x – 6y – 6z = 12} \cr {8x – 4y + 8z = 44} \cr {4x – 6y + 6z = 32} \cr} } \right.\)
\(\Leftrightarrow \left\{ {\matrix{{2x – y – z = 2} \cr {2x – y + 2z = 11} \cr {2x – 3y + 3z = 16} \cr} } \right. \Leftrightarrow \left\{ {\matrix{{x = 2} \cr {y = – 1} \cr {z = 3} \cr} } \right.\)
Vậy mặt cầu (S) có tâm I(2; -1; 3).
Mặt phẳng \((\alpha )\) tiếp xúc với (S) tại A nên \((\alpha )\) có vecto pháp tuyến là \(\overrightarrow {IA} = (4; – 1;0)\)
Phương trình mặt phẳng \((\alpha )\) là
\(4(x – 6) – (y +2) = 0\) hay \(4x – y – 26 = 0.\)
