Câu 26: Cho a < b và c < d, chứng tỏ a + c < b + d.
Ta có: a < b \( \Rightarrow a + c < b + c\) (1)
\(c < d \Rightarrow b + c < b + d\) (2)
Từ (1) và (2) suy ra: a + c < b + d.
Câu 27: Cho a, b, c, d là các số dương thỏa mãn a < b, c < d, chứng tỏ ac < bd.
Với a > 0, b > 0, c > 0, d > 0 ta có:
\(a < b \Rightarrow ac < bc\) (1)
Advertisements (Quảng cáo)
\(c < d \Rightarrow bc < bd\) (2)
Từ (1) và (2) suy ra: ac < bd.
Câu 28: Chứng tỏ rằng với a và b là các số bất kì thì :
a. \({a^2} + {b^2} – 2ab \ge 0\)
b. \({{{a^2} + {b^2}} \over 2} \ge ab\)
Advertisements (Quảng cáo)
a. Ta có:
\({\left( {a – b} \right)^2} \ge 0 \Rightarrow {a^2} + {b^2} – 2ab \ge 0\)
b. Ta có:
\(\eqalign{ & {\left( {a – b} \right)^2} \ge 0 \Rightarrow {a^2} + {b^2} – 2ab \ge 0 \cr & \Rightarrow {a^2} + {b^2} – 2ab + 2ab \ge 2ab \cr & \Rightarrow {a^2} + {b^2} \ge 2ab \cr & \Rightarrow \left( {{a^2} + {b^2}} \right).{1 \over 2} \ge 2ab.{1 \over 2} \cr & \Rightarrow {{{a^2} + {b^2}} \over 2} \ge ab \cr} \)
Câu 29: Cho a và b là các số dương, chứng tỏ:
\({a \over b} + {b \over a} \ge 2\)
Ta có:
\(\eqalign{ & {\left( {a – b} \right)^2} \ge 0 \Rightarrow {a^2} + {b^2} – 2ab \ge 0 \cr & \Rightarrow {a^2} + {b^2} – 2ab + 2ab \ge 2ab \cr} \)
\( \Rightarrow {a^2} + {b^2} \ge 2ab\) (*)
\(a > 0,b > 0 \Rightarrow a.b > 0 \Rightarrow {1 \over {ab}} > 0\)
Nhân hai vế của (*) với \({1 \over {ab}}\) ta có:
\(\eqalign{ & \left( {{a^2} + {b^2}} \right).{1 \over {ab}} \ge 2ab.{1 \over {ab}} \cr & \Leftrightarrow {{{a^2}} \over {ab}} + {{{b^2}} \over {ab}} \ge 2 \cr & \Leftrightarrow {a \over b} + {b \over a} \ge 2 \cr} \)
