Câu 75: Giải các bất phương trình:
a. \(2x + 1,4 < {{3x – 7} \over 5}\)
b. \(1 + {{1 + 2x} \over 3} > {{2x – 1} \over 6} – 2\)
a. Ta có:
\(\eqalign{ & 2x + 1,4 < {{3x – 7} \over 5} \cr & \Leftrightarrow 5.\left( {2x + 1,4} \right) < {{3x – 7} \over 5} \cr & \Leftrightarrow 10x + 7 < 3x – 7 \cr & \Leftrightarrow 10x – 3x < – 7 – 7 \cr & \Leftrightarrow 7x < – 14 \cr & \Leftrightarrow x < – 2 \cr} \)
Vậy tập nghiệm của bất phương trình là: \(\left\{ {x|x < – 2} \right\}\)
b. Ta có:
\(\eqalign{ & 1 + {{1 + 2x} \over 3} > {{2x – 1} \over 6} – 2 \cr & \Leftrightarrow 6 + {{1 + 2x} \over 3}.6 > {{2x – 1} \over 6}.6 – 2.6 \cr & \Leftrightarrow 6 + 2 + 4x > 2x – 1 – 12 \cr & \Leftrightarrow 4x – 2x > – 1 – 12 – 6 – 2 \cr & \Leftrightarrow 2x > – 21 \cr & \Leftrightarrow x > – 10,5 \cr} \)
Vậy tập nghiệm của bất phương trình là: \(\left\{ {x|x > – 10,5} \right\}\)
Câu 76: Môt người đi bộ một quãng đường dài 18km trong khoảng thời gian không nhiều hơn 4 giờ. Lúc đầu người đó đi với vận tốc 5km/h, về sau đi với vận tốc 4km/h. Xác định độ dài đoạn đường mà người đó đã đi với vận tốc 5 km/h.
Gọi x (km) là đoạn đường người đó đi với vận tốc 5km/h. ĐK: x < 18.
Khi đó đoạn đường người đó đi vận9 tốc 4km/h là 18 – x (km)
Thời gian đi với vận tốc 5km/h là \({x \over 5}\) giờ
Thời gian đi với vận tốc 4km/h là \({{18 – x} \over 4}\) giờ
Vì thời gian đi hết đoạn đường không quá 4 giờ nên ta có bất phương trình:
\({x \over 5} + {{18 – x} \over 4} \le 4\)
Ta có:
\(\eqalign{ & {x \over 5} + {{18 – x} \over 4} \le 4 \cr & \Leftrightarrow {x \over 5}.20 + {{18 – x} \over 4}.20 \le 4.20 \cr & \Leftrightarrow 4x + 90 – 5x \le 80 \cr & \Leftrightarrow 4x – 5x \le 80 – 90 \cr & \Leftrightarrow – x \le – 10 \cr & \Leftrightarrow x \ge 10 \cr} \)
Vậy đoạn đường đi với vận tốc 5 km/h ít nhất là 10km
Advertisements (Quảng cáo)
Câu 77: Giải các phương trình:
a. \(\left| {2x} \right| = 3x – 2\)
b. \(\left| { – 3,5x} \right| = 1,5x + 5\)
c. \(\left| {x + 15} \right| = 3x – 1\)
d. \(\left| {2 – x} \right| = 0,5x – 4\)
a. Ta có:
\(\left| {2x} \right| = 2x\) khi \(2x \ge 0 \Rightarrow x \ge 0\)
\(\left| {2x} \right| = – 2x\) khi \(2x < 0 \Rightarrow x < 0\)
Ta có: \(2x = 3x – 2 \Leftrightarrow 2x – 3x = – 2 \Leftrightarrow x = 2\)
Giá trị x = 2 thỏa mãn điều kiện x ≥ 0 nên 2 là nghiệm của phương trình
\( – 2x = 3x – 2 \Leftrightarrow – 2x – 3x = – 2 \Leftrightarrow – 5x = – 2 \Leftrightarrow x = {2 \over 5}\)
Giá trị \(x = {2 \over 5}\) không thỏa mãn điều kiện x < 0 nên loại.
Vậy tập nghiệm của phương trình là: S = {2}
Advertisements (Quảng cáo)
b. Ta có:
\(\left| { – 3,5x} \right| = – 3,5\) khi \( – 3,5x \ge 0 \Rightarrow x \le 0\)
\(\left| { – 3,5x} \right| = 3,5\) khi \( – 3,5x < 0 \Rightarrow x > 0\)
Ta có: \( – 3,5x = 1,5x + 5 \Leftrightarrow – 3,5x – 1,5x = 5 \Leftrightarrow – 5x = 5 \Leftrightarrow x = – 1\)
Giá trị x = -1 thỏa mãn điều kiện x ≤ 0 nên -1 là nghiệm của phương trình
\(3,5x = 1,5 + 5 \Leftrightarrow 3,5x – 1,5x = 5 \Leftrightarrow 2x = 5 \Leftrightarrow x = {5 \over 2}\)
Giá trị x = 2,5 thỏa mãn điều kiện x > 0 nên 2,5 là nghiệm của phương trình
Vậy tập nghiệm của phương trình là: S = {-1; 2,5}
c. Ta có:
\(\left| {x + 15} \right| = x + 15\) khi \(x + 15 \ge 0 \Rightarrow x \ge – 15\)
\(\left| {x + 15} \right| = – x – 15\) khi \(x + 15 < 0 \Rightarrow x < – 15\)
Ta có: \(x + 15 = 3x – 1 \Leftrightarrow x – 3x = – 1 – 15 \Leftrightarrow – 2x = – 16 \Leftrightarrow x = 8\)
Giá trị x = 8 thỏa mãn điều kiện x ≥ -15 nên 8 là nghiệm của phương trình
\( – x – 15 = 3x – 1 \Leftrightarrow – x – 3x = – 1 + 15 \Leftrightarrow – 4x = 14 \Leftrightarrow x = – 3,5\)
Giá trị x = -3,5 không thỏa mãn điều kiện x < -15 nên loại.
Vậy tập nghiệm của phương trình là: S = {8}.
d. Ta có:
\(\left| {2 – x} \right| = 2 – x\) khi \(2 – x \ge 0 \Rightarrow x \le 2\)
\(\left| {2 – x} \right| = x – 2\) khi \(2 – x < 0 \Rightarrow x > 2\)
Ta có: \(2 – x = 0,5x – 4 \Leftrightarrow – x – 0,5x = – 4 – 2 \Leftrightarrow – 1,5x = – 6 \Leftrightarrow x = 4\)
Giá trị x = 4 không thỏa mãn điều kiện x ≤ 2 nên loại.
\(x – 2 = 0,5x – 4 \Leftrightarrow x – 0,5x = – 4 + 2 \Leftrightarrow 0,5x = – 2 \Leftrightarrow x = – 4\)
Giá trị x = -4 không thỏa mãn điều kiện x > 2 nên loại
Vậy phương trình đã cho vô nghiệm. Tập nghiệm là S = ∅.
Câu 78: Chứng tỏ rằng, trong một tam giác thì độ dài một cạnh luôn nhỏ hơn nửa chu vi.
Gọi a, b, c lần lượt là độ dài ba cạnh của tam giác.
Chu vi tam giác là a + b + c.
Theo bất đẳng thức tam giác, ta có:
\(a < b + c \Leftrightarrow a + a < a + b + c \Leftrightarrow 2a < a + b + c \Leftrightarrow a < {{a + b + c} \over 2}\)
Tương tự:
\(\eqalign{ & b < a + c \Leftrightarrow b + b < a + b + c \Leftrightarrow 2b < a + b + c \Leftrightarrow b < {{a + b + c} \over 2} \cr & c < a + b \Leftrightarrow c + c < a + b + c \Leftrightarrow 2c < a + b + c \Leftrightarrow c < {{a + b + c} \over 2} \cr} \)
Vậy trong một tam giác độ dài một cạnh luôn nhỏ hơn nửa chu vi.
