Câu 79: Với số m và số n bất kì, chứng tỏ rằng
a. \({\left( {m + 1} \right)^2} \ge 4m\)
b. \({m^2} + {n^2} + 2 \ge 2\left( {m + n} \right)\)
a. Ta có:
\(\eqalign{ & {\left( {m – 1} \right)^2} \ge 0 \cr & \Leftrightarrow {\left( {m – 1} \right)^2} + 4m \ge 4 \cr & \Leftrightarrow {m^2} – 2m + 1 + 4m \ge 4m \cr & \Leftrightarrow {m^2} + 2m + 1 \ge 4m \cr & \Leftrightarrow {\left( {m + 1} \right)^2} \ge 4m \cr} \)
b. Ta có:
\(\eqalign{ & {\left( {m – 1} \right)^2} \ge 0;{\left( {n – 1} \right)^2} \ge 0 \cr & \Rightarrow {\left( {m – 1} \right)^2} + {\left( {n – 1} \right)^2} \ge 0 \cr & \Leftrightarrow {m^2} – 2m + 1 + {n^2} – 2n + 1 \ge 0 \cr & \Leftrightarrow {m^2} + {n^2} + 2 \ge 2\left( {m + n} \right) \cr} \)
Câu 80: Cho a > 0 và b > 0, chứng tỏ rằng
\(\left( {a + b} \right)\left( {{1 \over a} + {1 \over b}} \right) \ge 4\)
Advertisements (Quảng cáo)
Ta có:
\(\eqalign{ & {\left( {a – b} \right)^2} \ge 0 \cr & \Leftrightarrow {a^2} + {b^2} – 2ab \ge 0 \cr & \Leftrightarrow {a^2} + {b^2} – 2ab + 2ab \ge 2ab \cr & \Leftrightarrow {a^2} + {b^2} \ge 2ab \cr} \)
Vì a > 0, b > 0 nên ab ≥ 0 \( \Rightarrow {1 \over {ab}} > 0\)
\(\eqalign{ & \left( {{a^2} + {b^2}} \right).{1 \over {ab}} \ge 2ab.{1 \over {ab}} \cr & \Leftrightarrow {a \over b} + {b \over a} \ge 2 \cr & \Leftrightarrow 2 + {a \over b} + {b \over a} \ge 2 + 2 \cr & \Leftrightarrow 2 + {a \over b} + {b \over a} \ge 4 \cr & \Leftrightarrow 1 + 1 + {a \over b} + {b \over a} \ge 4 \cr & \Leftrightarrow a\left( {{1 \over a} + {1 \over b}} \right) + b\left( {{1 \over a} + {1 \over b}} \right) \ge 4 \cr & \Leftrightarrow \left( {a + b} \right)\left( {{1 \over a} + {1 \over b}} \right) \ge 4 \cr} \)
Câu 81: Chứng tỏ diện tích hình vuông cạnh 10m không nhỏ hơn diện tích hình chữ nhật có cùng chu vi.
Chu vi hình chữ nhật là 4.10 = 40 (m)
Advertisements (Quảng cáo)
Gọi x (m) là chiều rộng hình chữ nhật. Điều kiện: x < 20.
Khi đó chiều dài hình chữ nhật là 20 – x (m)
Diện tích hình chữ nhật là x(20 – x ) (\({m^2}\))
Ta có:
\(\eqalign{ & {\left( {10 – x} \right)^2} \ge 0 \cr & \Leftrightarrow {10^2} – 20x + {x^2} \ge 0 \cr & \Leftrightarrow {10^2} \ge 20x – {x^2} \cr & \Leftrightarrow {10^2} \ge x\left( {20 – x} \right) \cr} \)
Vậy diện tích hình vuông cạnh 10m không nhỏ hơn diện tích hình chữ nhật cùng chu vi.
Câu 82: Giải các bất phương trình:
a. \(3\left( {x – 2} \right)\left( {x + 2} \right) < 3{x^2} + x\)
b. \(\left( {x + 4} \right)\left( {5x – 1} \right) > 5{x^2} + 16x + 2\)
a. Ta có:
\(\eqalign{ & 3\left( {x – 2} \right)\left( {x + 2} \right) < 3{x^2} + x \cr & \Leftrightarrow 3\left( {{x^2} – 4} \right) \le 3{x^2} + x \cr & \Leftrightarrow 3{x^2} – 12 \le 3{x^2} + x \cr & \Leftrightarrow 3{x^2} – 3{x^2} – x \le 12 \cr & \Leftrightarrow – x \le 12 \Leftrightarrow x \ge – 12 \cr} \)
Vậy tập nghiệm của bất phương trình là: \(\left\{ {x|x > – 12} \right\}\)
b. Ta có:
\(\eqalign{ & \left( {x + 4} \right)\left( {5x – 1} \right) > 5{x^2} + 16x + 2 \cr & \Leftrightarrow 5{x^2} – {x^2} + 20x – 4 > 5{x^2} + 16x + 2 \cr & \Leftrightarrow 5{x^2} – {x^2} + 20x – 5{x^2} – 16x > 2 + 4 \cr & \Leftrightarrow 3x > 6 \Leftrightarrow x > 2 \cr} \)
Vậy tập nghiệm của bất phương trình là: \(\left\{ {x|x > 2} \right\}\)
