Bài 3.39: Cho hai đường thẳng \(\Delta :{{x – 1} \over 2} = {{y + 3} \over 1} = {{z – 4} \over { – 2}}\)
\(\Delta ‘:{{x + 2} \over { – 4}} = {{y – 1} \over { – 2}} = {{z + 1} \over 4}\)
a) Xét vị trí tương đối giữa \(\Delta \) và \(\Delta ‘\) ;
b) Tính khoảng cách giữa \(\Delta \) và \(\Delta ‘\) .
a) \(\Delta \) đi qua điểm M0(1; -3; 4) và có vecto chỉ phương \(\overrightarrow a = (2;1; – 2)\)
\(\Delta ‘\) đi qua điểm M0’ (-2; 1; -1) và có vecto chỉ phương \(\overrightarrow {a’} = ( – 4; – 2;4)\)
Ta có \(\left\{ {\matrix{{\overrightarrow {a’} = 2\overrightarrow a } \cr {{M_0} \notin \Delta ‘} \cr} } \right.\)
Vậy \(\Delta ‘\) song song với \(\Delta \)
b) Ta có \(\overrightarrow {{M_0}M{‘_0}} = ( – 3;4; – 5)\)
\(\overrightarrow a = (2;1; – 2)\)
\(\overrightarrow n = \overrightarrow {{M_0}M{‘_0}} \wedge \overrightarrow a = ( – 3; – 16; – 11)\)
\(d(\Delta ,\Delta ‘) = M{‘_0}H = {{|\overrightarrow n |} \over {|\overrightarrow a |}} = {{\sqrt {9 + 256 + 121} } \over {\sqrt {4 + 1 + 4} }} = {{\sqrt {386} } \over 3}\)
Bài 3.40: Cho điểm M(2; -1; 1) và đường thẳng \(\Delta :{{x – 1} \over 2} = {{y + 1} \over { – 1}} = {z \over 2}\)
a) Tìm tọa độ điểm H là hình chiếu vuông góc của điểm M trên đường thẳng \(\Delta \);
b) Tìm tọa độ điểm M’ đối xứng với M qua đường thẳng \(\Delta \) .
Advertisements (Quảng cáo)
a) Phương trình tham số của \(\Delta :\left\{ {\matrix{{x = 1 + 2t} \cr {y = – 1 – t} \cr {z = 2t} \cr} } \right.\)
Xét điểm \(H(1 + 2t; – 1 – t;2t) \in \Delta \)
Ta có \(\overrightarrow {MH} = (2t – 1; – t;2t – 1)\)
\(\overrightarrow {{a_\Delta }} = (2; – 1;2)\)
H là hình chiếu vuông góc của M trên \(\Delta \Leftrightarrow \overrightarrow {MH} .\overrightarrow {{a_\Delta }} = 0\)
\(\Leftrightarrow 2(2t – 1) + t + 2(2t – 1) = 0 \Leftrightarrow t = {4 \over 9}\)
Ta suy ra tọa độ điểm \(H({{17} \over 9};{{ – 13} \over 9};{8 \over 9})\)
b) H là trung điểm của MM’, suy ra xM’ + xM = 2xH
Suy ra \({x_{M’}} = 2{x_H} – {x_M} = {{34} \over 9} – 2 = {{16} \over 9}\)
Tương tự, ta được \({y_{M’}} = 2{y_H} – {y_M} = {{ – 26} \over 9} + 1 = {{ – 17} \over 9};\)
\({z_{M’}} = 2{z_H} – {z_M} = {{16} \over 9} – 1 = {7 \over 9}\)
Advertisements (Quảng cáo)
Vậy \(M'({{16} \over 9};{{ – 17} \over 9};{7 \over 9})\)
Bài 3.41: Cho điểm M(1; -1; 2) và mặt phẳng \((\alpha )\) : 2x – y + 2z + 12 = 0
a) Tìm tọa độ điểm H là hình chiếu vuông góc của điểm M trên mặt phẳng \((\alpha )\) ;
b) Tìm tọa độ điểm M’ đối xứng với M qua mặt phẳng \((\alpha )\) .
a) Phương trình tham số của đường thẳng \(\Delta \) đi qua điểm M(1; -1; 2) và vuông góc với mặt phẳng \((\alpha )\) : 2x – y + 2z + 12 = 0 là: \(\Delta :\left\{ {\matrix{{x = 1 + 2t} \cr {y = – 1 – t} \cr {z = 2 + 2t} \cr} } \right.\)
Xét điểm H(1 + 2t; -1 – t ; 2 + 2t) \( \in \Delta \)
Ta có \(H \in (\alpha ) \Leftrightarrow 2(1 + 2t) + (1 + t) + 2(2 + 2t) + 12 = 0 \Leftrightarrow t = {{ – 19} \over 9}\)
Vậy ta được \(H({{ – 29} \over 9};{{10} \over 9};{{ – 20} \over 9})\)
b) H là trung điểm của MM’, suy ra \({x_{M’}} = 2{x_H} – {x_M} = {{ – 58} \over 9} – 1 = {{ – 67} \over 9}\)
\({y_{M’}} = 2{y_H} – {y_M} = {{20} \over 9} + 1 = {{29} \over 9}\)
\({z_{M’}} = 2{z_H} – {z_M} = {{ – 40} \over 9} – 2 = {{ – 58} \over 9}\)
Vậy ta được \(M'({{ – 67} \over 9};{{29} \over 9};{{ – 58} \over 9})\).
Bài 3.42: Cho hai đường thẳng : \(d:{{x – 1} \over { – 1}} = {{y – 2} \over 2} = {z \over 3}\) và \(d’:\left\{ {\matrix{{x = 1 + t’} \cr {y = 3 – 2t’} \cr {z = 1} \cr} } \right.\)
Lập phương trình đường vuông góc chung của d và d’.
Phương trình tham số của đường thẳng d:\(\left\{ {\matrix{{x = 1 – t} \cr {y = 2 + 2t} \cr {z = 3t} \cr} } \right.\)
Vecto chỉ phương của hai đường thẳng d và d’lần lượt là \(\overrightarrow a = ( – 1;2;3),\overrightarrow {a’} = (1; – 2;0)\).
Xét điểm M(1 – t; 2 + 2t; 3t) trên d và điểm M’(1 + t’; 3 – 2t’ ; 1) trên d’ ta có \(\overrightarrow {MM’} = (t’ + t;1 – 2t’ – 2t;1 – 3t)\) .
MM’ là đường vuông góc chung của d và d’.
\(\Leftrightarrow \left\{ {\matrix{{\overrightarrow {MM’} .\overrightarrow a = 0} \cr {\overrightarrow {MM’} .\overrightarrow {a’} = 0} \cr} } \right.\)
\(\Leftrightarrow \left\{ {\matrix{{ – t’ – t + 2 – 4t’ – 4t + 3 – 9t = 0} \cr {t’ + t – 2 + 4t’ + 4t = 0} \cr} } \right.\)
\( \Leftrightarrow \left\{ {\matrix{{5t’ + 14t = 5} \cr {5t’ + 5t = 2} \cr} } \right. \Leftrightarrow \left\{ {\matrix{{t = {1 \over 3}} \cr {t’ = {1 \over {15}}} \cr} } \right.\)
Thay giá trị của t và t’ vào ta được tọa độ M và M’ là \(M({2 \over 3};{8 \over 3};1),M'({{16} \over {15}};{{43} \over {15}};1)\)
Do đó \(\overrightarrow {MM’} = ({6 \over {15}};{3 \over {15}};0)\)
Suy ra đường vuông góc chung \(\Delta \) của d và d’ có vecto chỉ phương \(\overrightarrow u = (2;1;0)\)
Vậy phương trình tham số của \(\Delta \) là: \(\left\{ {\matrix{{x = {2 \over 3} + 2t} \cr {y = {8 \over 3} + t} \cr {z = 1} \cr} } \right.\)
