Bài 3.35: Xét vị trí tương đối của đường thẳng d với mặt phẳng \((\alpha )\) trong các trường hợp sau
a) \(d:\left\{ {\matrix{{x = t} \cr {y = 1 + 2t} \cr {z = 1 – t} \cr} } \right.\) và \((\alpha )\) : x + 2y + z – 3 = 0
b) d: \(\left\{ {\matrix{{x = 2 – t} \cr {y = t} \cr {z = 2 + t} \cr} } \right.\) và \((\alpha )\) : x + z + 5 = 0
c)\(d:\left\{ {\matrix{{x = 3 – t} \cr {y = 2 – t} \cr {z = 1 + 2t} \cr} } \right.\) và \((\alpha )\) : x +y + z -6 = 0
a) Thay x, y, z trong phương trình tham số của đường thẳng d vào phương trình tổng quát của mặt phẳng \((\alpha )\) ta được: t + 2(1 + 2t) + (1 – t) – 3 = 0
⟺ 4t = 0 ⟺ t = 0
Vậy đường thẳng d cắt mặt phẳng \((\alpha )\) tại M0(0; 1; 1).
b) Thay x, y, z trong phương trình tham số của d vào phương trình tổng quát của \((\alpha )\) ta được: (2 – t) +(2 + t) + 5 = 0 ⟺ 0t = -9
Phương trình vô nghiệm, vậy đường thẳng d song song với \((\alpha )\)
c) Thay x, y, z trong phương trình tham số của d vào phương trình tổng quát của \((\alpha )\) ta được: (3 – t) + (2 – t) + (1 + 2t) – 6 = 0 ⟺ 0t = 0
Phương trình luôn thỏa mãn với mọi t. Vậy d chứa trong \((\alpha )\) .
Bài 3.36: Tính khoảng cách từ điểm A(1; 0; 1) đến đường thẳng \(\Delta :{{x – 1} \over 2} = {y \over 2} = {z \over 1}\)
Advertisements (Quảng cáo)
Đường thẳng \(\Delta \) đi qua điểm M0(1; 0; 0) và có vecto chỉ phương \(\overrightarrow a = (2;2;1)\) .
Ta có \(\overrightarrow {{M_0}A} = (0;0;1),\overrightarrow n = \overrightarrow a \wedge \overrightarrow {{M_0}A} = (2; – 2;0)\) .
\(d(A,\Delta ) = {{|\overrightarrow n |} \over {|\overrightarrow a |}} = {{\sqrt {4 + 4 + 0} } \over {\sqrt {4 + 4 + 1} }} = {{2\sqrt 2 } \over 3}\)
Vậy khoảng cách từ điểm A đến \(\Delta \) là \({{2\sqrt 2 } \over 3}\).
Bài 3.37: Cho đường thẳng \(\Delta :{{x + 3} \over 2} = {{y + 1} \over 3} = {{z + 1} \over 2}\) và mặt phẳng \((\alpha )\) : 2x – 2y + z + 3 = 0
a) Chứng minh rằng \(\Delta \) song song với \((\alpha )\).
b) Tính khoảng cách giữa \(\Delta \) và \((\alpha )\)
Advertisements (Quảng cáo)
a) Ta có: \(\overrightarrow {{a_\Delta }} = (2;3;2)\) và \(\overrightarrow {{n_\alpha }} = (2; – 2;1)\)
\(\overrightarrow {{a_\Delta }} .\overrightarrow {{n_\alpha }} = 4 – 6 + 2 = 0\) (1)
Xét điểm M0(-3; -1; -1) thuộc \(\Delta \) , ta thấy tọa độ M0 không thỏa mãn phương trình của \((\alpha )\) . Vậy \({M_0} \notin (\alpha )\) (2).
Từ (1) và (2) ta suy ra \(\Delta //(\alpha )\)
b) \(d(\Delta ,(\alpha )) = d({M_0},(\alpha )) = {{|2.( – 3) – 2.( – 1) + ( – 1) + 3|} \over {\sqrt {4 + 4 + 1} }} = {2 \over 3}\)
Vậy khoảng cách giữa đường thẳng \(\Delta \) và mặt phẳng \((\alpha )\) là \({2 \over 3}\).
Bài 3.38: Tính khoảng cách giữa các cặp đường thẳng \(\Delta \) và \(\Delta ‘\) trong các trường hợp sau:
a)\(\Delta :\left\{ {\matrix{{x = 1 + t} \cr {y = – 1 – t} \cr {z = 1} \cr} } \right.\) và \(\Delta ‘:\left\{ {\matrix{{x = 2 – 3t’} \cr {y = 2 + 3t’} \cr {z = 3t’} \cr} } \right.\)
b)\(\Delta :\left\{ {\matrix{{x = t} \cr {y = 4 – t} \cr {z = – 1 + 2t} \cr} } \right.\) và \(\Delta ‘:\left\{ {\matrix{{x = t’} \cr {y = 2 – 3t’} \cr {z = – 3t’} \cr} } \right.\)
a) Gọi \((\alpha )\) là mặt phẳng chứa \(\Delta \) và song song với \(\Delta ‘\). Hai vecto có giá song song hoặc nằm trên \((\alpha )\) là: \(\overrightarrow a = (1; – 1;0)\) và \(\overrightarrow a ‘ = ( – 1;1;1)\). Suy ra \(\overrightarrow {{n_\alpha }} = ( – 1; – 1;0)\)
\((\alpha )\) đi qua điểm M1(1; -1; 1) thuộc \(\Delta \) và có vecto pháp tuyến: \(\overrightarrow {{n_{\alpha ‘}}} = (1;1;0)\)
Vậy phưong trình của mặt phẳng \((\alpha )\) có dạng x – 1 + y + 1= hay x + y = 0
Ta có: M2((2; 2; 0) thuộc đường thẳng \(\Delta ‘\)
\(d(\Delta ,\Delta ‘) = d({M_2},(\alpha )) = {{|2 + 2|} \over {\sqrt {1 + 1} }} = 2\sqrt 2 \)
b) Hai đường thẳng \(\Delta \) và \(\Delta ‘\) có phương trình là:
\(\Delta :\left\{ {\matrix{{x = t} \cr {y = 4 – t} \cr {z = – 1 + 2t} \cr} } \right.\) và \(\Delta ‘:\left\{ {\matrix{{x = t’} \cr {y = 2 – 3t’} \cr {z = – 3t’} \cr} } \right.\)
Phương trình mặt phẳng \((\alpha )\) chứa \(\Delta \) và song song với \(\Delta ‘\) là 9x + 5y – 2z – 22 = 0
Lấy điểm M’(0; 2; 0) trên \(\Delta ‘\) .
Ta có \(d(\Delta ,\Delta ‘) = d(M’,(\alpha )) = {{|5.(2) – 22|} \over {\sqrt {81 + 25 + 4} }} = {{12} \over {\sqrt {110} }}\)
Vậy khoảng cách giữa hai đường thẳng \(\Delta \) và \(\Delta ‘\) là \({{12} \over {\sqrt {110} }}\).
