Bài 3.31: Viết phương trình tham số, phương trình chính tắc của đường thẳng \(\Delta \) trong các trường hợp sau:
a) \(\Delta \) đi qua điểm A(1; 2; 3) và có vecto chỉ phương \(\overrightarrow a = (3;3;1)\) ;
b) \(\Delta \) đi qua điểm B(1; 0; -1) và vuông góc với mặt phẳng \((\alpha )\) : 2x – y + z + 9 = 0
c) \(\Delta \) đi qua hai điểm C(1; -1; 1) và D(2; 1; 4)
a) Phương trình tham số của đường thẳng \(\Delta \) đi qua điểm A(1; 2; 3) và có vecto chỉ phương \(\overrightarrow a = (3;3;1)\) là: \(\left\{ {\matrix{{x = 1 + 3t} \cr {y = 2 + 3t} \cr {z = 3 + t} \cr} } \right.\)
Phương trình chính tắc của \(\Delta \) là \({{x – 1} \over 3} = {{y – 2} \over 3} = {{z – 3} \over 1}\)
b) \(\Delta \bot (\alpha ) \Rightarrow \overrightarrow {{a_\Delta }} = \overrightarrow {{a_\alpha }} = (2; – 1;1)\)
Phương trình tham số của \(\Delta \) là \(\left\{ {\matrix{{x = 1 + 2t} \cr {y = – t} \cr {z = – 1 + t} \cr} } \right.\)
Phương trình chính tắc của \(\Delta \) là \({{x – 1} \over 2} = {y \over { – 1}} = {{z + 1} \over 1}\)
c) \(\Delta \) đi qua hai điểm C và D nên có vecto chỉ phương \(\overrightarrow {CD} = (1;2;3)\)
Vậy phương trình tham số của \(\Delta \) là \(\left\{ {\matrix{{x = 1 + t} \cr {y = – 1 + 2t} \cr {z = 1 + 3t} \cr} } \right.\)
Phương trình chính tắc của \(\Delta \) là \({{x – 1} \over 1} = {{y + 1} \over 2} = {{z – 1} \over 3}\)
Bài 3.32: Viết phương trình của đường thẳng \(\Delta \) nằm trong mặt phẳng \((\alpha )\): x +2z = 0 và cắt hai đường kính d1: \(\left\{ {\matrix{{x = 1 – t} \cr {y = t} \cr {z = 4t} \cr} } \right.\) và d2: \(\left\{ {\matrix{{x = 2 – t’} \cr {y = 4 + 2t’} \cr {z = 4} \cr} } \right.\)
Hướng dẫn làm bài
Advertisements (Quảng cáo)
Gọi A và B lần lượt là giao điểm của d1 và d2 với \((\alpha )\) . Đường thẳng \(\Delta \) cần tìm chính là đường thẳng AB.
Ta có: \(A(1 – t;t;4t) \in {d_1}\)
\(A \in (\alpha ) \Leftrightarrow t + 4.(2t) = 0 \Leftrightarrow t = 0\)
Suy ra: A(1; 0; 0)
Ta có : \(B(2 – t’;4 + 2t’;4) \in {d_2}\)
\(B \in (\alpha ) \Leftrightarrow 4 + 2t’ + 8 = 0 \Leftrightarrow t’ = – 6\)
Suy ra B(8; -8; 4)
\(\Delta \) đi qua A, B nên có vecto chỉ phương \(\overrightarrow {{a_\Delta }} = \overrightarrow {AB} = (7; – 8;4)\)
Phương trình chính tắc của \(\Delta \) là: \({{x – 1} \over 7} = {y \over { – 8}} = {z \over 4}\)
Advertisements (Quảng cáo)
Bài 3.33: Xét vị trí tương đối của các cặp đường thẳng d và d’ cho bởi các phương trình sau:
a) \(d:{{x + 1} \over 1} = {{y – 1} \over 2} = {{z + 3} \over 3}\) và \(d’:{{x – 1} \over 3} = {{y – 5} \over 2} = {{z – 4} \over 2}\)
b)\(d:\left\{ {\matrix{{x = t} \cr {y = 1 + t} \cr {z = 2 – t} \cr} } \right.\) và \(d’:\left\{ {\matrix{{x = 9 + 2t’} \cr {y = 8 + 2t’} \cr {z = 10 – 2t’} \cr} } \right.\)
c) \(d:\left\{ {\matrix{{x = – t} \cr {y = 3t} \cr {z = – 1 – 2t} \cr} } \right.\) và \(d’:\left\{ {\matrix{{x = 0} \cr {y = 9} \cr {z = 5t’} \cr} } \right.\)
a) Ta có: \(\overrightarrow {{a_d}} = (1;2;3)\) và \(\overrightarrow {{a_{d’}}} = (3;2;2)\)
Suy ra \(\overrightarrow n = \overrightarrow {{a_d}} \wedge \overrightarrow {{a_{d’}}} = ( – 2;7; – 4)\)
Ta có \({M_0}( – 1;1; – 2) \in d,{M_0}'(1;5;4) \in {\rm{d’ \Rightarrow }}\overrightarrow {{M_0}{M_0}’} = (2;4;6)\)
Ta có \(\overrightarrow n .\overrightarrow {{M_0}{M_0}’} = – 4 + 28 – 24 = 0\) . Vậy đường thẳng d và d’ đồng phẳng và khác phương, nên d và d’ cắt nhau.
b) Ta có \(\overrightarrow {{a_d}} = (1;1; – 1)\) và \(\overrightarrow {{a_{d’}}} = (2;2; – 2).{M_0}(0;1;2) \in d\)
Vì \(\left\{ {\matrix{{\overrightarrow {{a_{d’}}} = 2\overrightarrow {{a_d}} } \cr {{M_0} \notin d’} \cr} } \right.\) (tọa độ M0 không thỏa mãn d’) nên hai đường thẳng d và d’ song song.
c) d có vecto chỉ phương \(\overrightarrow {{a_d}} = ( – 1;3; – 2)\)
d’ có vecto chỉ phương \(\overrightarrow {{a_{d’}}} = (0;0;5)\)
Gọi \(\overrightarrow n = \overrightarrow {{a_d}} \wedge \overrightarrow {{a_{d’}}} = (15;5;0) \ne \overrightarrow 0 \)
Ta có \({M_0}(0;0; – 1) \in d\)
\(M{‘_0}(0;9;0) \in d’ \Rightarrow \overrightarrow {{M_0}M{‘_0}} = (0;9;1),\overrightarrow n .\overrightarrow {{M_0}M{‘_0}} = 45 \ne 0\)
Vậy d và d’ là hai đường thẳng chéo nhau.
Bài 3.34: Tìm a để hai đường thẳng sau đây song song:
\(d:\left\{ {\matrix{{x = 5 + t} \cr {y = at} \cr {z = 2 – t} \cr} } \right.\) và \(d’:\left\{ {\matrix{{x = 1 + 2t’} \cr {y = a + 4t’} \cr {z = 2 – 2t’} \cr} } \right.\)
Ta có \(\overrightarrow {{a_d}} = (1;a; – 1)\) và \(\overrightarrow {{a_{d’}}} = (2;4; – 2)\)
\(d//d’ \Rightarrow {1 \over 2} = {a \over 4} = {{ – 1} \over { – 2}} \Rightarrow a = 2\)
Khi đó \(M{‘_0}(1;2;2)\) thuộc d’ và M’0không thuộc d. Vậy d // d’ ⟺ a = 2.
