Trang Chủ Bài tập SGK lớp 12 Bài tập Toán lớp 12 Nâng cao

Bài 9, 10, 11 trang 81 Hình học 12 Nâng cao: Hệ tọa độ trong không gian

 Bài 1 Hệ tọa độ trong không gian. Bài 9, 10, 11 trang 81 SGK Hình học lớp 12 Nâng cao. Xét sự đồng phẳng của ba vectơ ;  Chứng minh rằng A, B, C, D là bốn đỉnh của một hình tứ diện.

Bài 9: Xét sự đồng phẳng của ba vectơ \(\overrightarrow u ,\overrightarrow v \) và \(\overrightarrow {\rm{w}} \) trong mỗi trường hợp sau:

a) \(\overrightarrow u \left( {4;3;4} \right)\,,\,\overrightarrow v \left( {2; – 1;2} \right)\,;\,\overrightarrow {\rm{w}} \left( {1;2;1} \right)\)

b) \(\overrightarrow u \left( {1; – 1;1} \right)\,;\,\overrightarrow v \left( {0;1;2} \right)\,;\,\overrightarrow {\rm{w}} \left( {4;2;3} \right)\)

c) \(\overrightarrow u \left( {4;2;5} \right)\,;\,\overrightarrow v \left( {3;1;3} \right)\,;\,\overrightarrow {\rm{w}} \left( {2;0;1} \right)\)

a) Ta có:

\(\eqalign{
& \left[ {\overrightarrow u ,\overrightarrow v } \right] = \left( {\left| \matrix{
3\,\,\,\,\,\,4 \hfill \cr
– 1\,\,\,2 \hfill \cr} \right|;\left| \matrix{
4\,\,\,\,\,4 \hfill \cr
2\,\,\,\,\,\,2 \hfill \cr} \right|;\left| \matrix{
4\,\,\,\,\,\,3 \hfill \cr
2\,\,\,\,\,\,\, – 1 \hfill \cr} \right|} \right) \cr&= \left( {10;0; – 10} \right) \cr
& \Rightarrow \left[ {\overrightarrow u ,\overrightarrow v } \right].\overrightarrow {\rm{w}} = 10.1 + 0.2 – 10.1 = 0 \cr} \)

Do đó \(\overrightarrow u ,\overrightarrow v ,\overrightarrow {\rm{w}} \) đồng phẳng.

b) \(\left[ {\overrightarrow u ,\overrightarrow v } \right].\overrightarrow {\rm{w}}  \ne 0 \Rightarrow \overrightarrow u ,\overrightarrow v ,\overrightarrow {\rm{w}} \) không đồng phẳng.

c) \(\left[ {\overrightarrow u ,\overrightarrow v } \right].\overrightarrow {\rm{w}}  = 0 \Rightarrow \overrightarrow u ,\overrightarrow v ,\overrightarrow {\rm{w}} \) đồng phẳng.

Bài 10: Cho ba điểm \(A\left( {1;0;0} \right)\,;\,B\left( {0;0;1} \right)\,;\,C\left( {2;1;1} \right)\)
a) Chứng minh A, B, C không thẳng hàng.
b) Tính chu vi và diện tích tam giác ABC.
c) Tính độ dài đường cao của tam giác ABC kẻ từ đỉnh A.
d) Tính các góc của tam giác ABC.

Advertisements (Quảng cáo)

a) Ta có \(\overrightarrow {BA}  = \left( {1;0; – 1} \right),\overrightarrow {BC}  = \left( {2;1;0} \right)\).
Vì \({1 \over 2} \ne {0 \over 1} \Rightarrow \overrightarrow {BA} ,\overrightarrow {BC} \) không cùng phương do đó A, B, C thẳng hàng.
b) Ta có

\(\eqalign{
& AB = \sqrt {{1^2} + {0^2} + {{\left( { – 1} \right)}^2}} = \sqrt 2 \cr
& BC = \sqrt {{2^2} + {1^2} + {0^2}} = \sqrt 5 \cr
& AC = \sqrt {{1^2} + {1^2} + {1^2}} = \sqrt 3 \cr} \)

Vậy chu vi tam giác ABC bằng \(\sqrt 2  + \sqrt 3  + \sqrt 5 \).
Ta có \(B{C^2} = A{B^2} + A{C^2} \Rightarrow \Delta ABC \) vuông tại A nên có diện tích \(S = {1 \over 2}AB.AC = {{\sqrt 6 } \over 2}\)
c) Gọi \({h_a}\) là độ dài đường cao kẻ từ A ta có:
\({S_{ABC}} = {1 \over 2}BC.{h_a} \Rightarrow {h_a} = {{2{S_{ABC}}} \over {BC}} = {{\sqrt 6 } \over {\sqrt 5 }} = {{\sqrt {30} } \over 5}\)
d) Vì tam giác ABC vuông tại A nên:

\(\cos B = {{AB} \over {BC}} = {{\sqrt 2 } \over {\sqrt 5 }} = {{\sqrt {10} } \over 5}\,;\)

\(\cos C = {{AC} \over {BC}} = {{\sqrt 3 } \over {\sqrt 5 }} = {{\sqrt {15} } \over 5}\)

Advertisements (Quảng cáo)

Bài 11: Cho bốn điểm A(1 ; 0 ; 0), B(0 ; 1 ; 0), C(0 ; 0 ; 1) và D(-2 ; 1 ; -2).

a) Chứng minh rằng A, B, C, D là bốn đỉnh của một hình tứ diện.

b) Tính góc giữa các đường thẳng chứa các cạnh đối của tứ diện đó.

c) Tính thể tích tứ diện ABCD và độ dài đường cao của tứ diện kẻ từ đỉnh A.

a) Ta có:

\(\eqalign{
& \overrightarrow {AB} = \left( { – 1;1;0} \right),\overrightarrow {AC} = \left( { – 1;0;1} \right),\cr&\overrightarrow {AD} = \left( { – 3;1; – 2} \right) \cr
& \left[ {\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {AC} } \right] = \left( {\left| \matrix{
1\,\,\,\,\,\,0 \hfill \cr
0\,\,\,\,\,1 \hfill \cr} \right|;\left| \matrix{
0\,\,\,\, – 1 \hfill \cr
1\,\,\,\,\, – 1 \hfill \cr} \right|;\left| \matrix{
– 1\,\,\,\,\,\,1 \hfill \cr
– 1\,\,\,\,\,\,\,0 \hfill \cr} \right|} \right)\cr& = \left( { – 3;1; – 2} \right) \cr
& \Rightarrow \left[ {\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {AC} } \right].\overrightarrow {AD} = – 3.1 + 1.1 – 2.1 = – 4 \ne 0 \cr} \)

Do đó ba vectơ \(\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {AC} ,\overrightarrow {AD} \) không đồng phẳng. Vậy A, B, C, D là 4 đỉnh của một tứ diện.

b) Ta có \(\overrightarrow {CD}  = \left( { – 2;1; – 3} \right),\overrightarrow {BD}  = \left( { – 2;0; – 2} \right),\)

\(\overrightarrow {BC}  = \left( {0; – 1;1} \right)\).

Gọi \(\alpha ,\beta ,\gamma \) lần lượt là góc tạo bởi các cặp đường thẳng AB và CD, AC và BD, AD và BC thì

\(\eqalign{
& \cos \alpha = \left| {\cos \left( {\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {CD} } \right)} \right| = {{\left| {2 + 1 + 0} \right|} \over {\sqrt 2 .\sqrt {14} }} = {{3\sqrt 7 } \over {14}} \cr
& \cos \beta = \left| {\cos \left( {\overrightarrow {AC} ,\overrightarrow {BD} } \right)} \right| = {{\left| {2 + 0 – 2} \right|} \over {\sqrt 2 .\sqrt 8 }} = 0 \cr&\Rightarrow AC \bot BD \cr
& \cos \gamma = \left| {\cos \left( {\overrightarrow {AD} ,\overrightarrow {BC} } \right)} \right| = {{\left| {0 – 1 – 2} \right|} \over {\sqrt 2 .\sqrt {14} }} = {{3\sqrt 7 } \over {14}} \cr} \)

c) Thể tích tứ diện ABCD là: \(V = {1 \over 6}\left| {\left[ {\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {AC} } \right].\overrightarrow {AD} } \right| = {1 \over 6}\left| { – 4} \right| = {2 \over 3}\)

Gọi \({h_A}\) là đường cao của tứ diện kẻ từ đỉnh A.
Ta có:

\(\eqalign{
& V = {1 \over 3}{h_A}.{S_{BCD}} \Rightarrow {h_A} = {{3V} \over {{S_{BCD}}}} \cr
& {S_{BCD}} = {1 \over 2}\left| {\left[ {\overrightarrow {BC} ,\overrightarrow {BD} } \right]} \right| = \sqrt 3 \cr} \)

Vậy \({h_A} = {{3.{2 \over 3}} \over {\sqrt 3 }} = {{2\sqrt 3 } \over 3}\)

Advertisements (Quảng cáo)