Câu 9: Chứng minh rằng nếu a ≥ 0 và b > 0 thì: \({{a + b} \over 2}.{{{a^2} + {b^2}} \over 2} \le {{{a^3} + {b^3}} \over 2}\)
Ta có:
\(\eqalign{
& {{a + b} \over 2}.{{{a^2} + {b^2}} \over 2} \le {{{a^3} + {b^3}} \over 2}\cr& \Leftrightarrow {a^3} + a{b^2} + {a^2}b + {b^3} \le 2{a^3} + 2{b^3} \cr
& \Leftrightarrow {a^3} – a{b^2} – {a^2}b + {b^3} \ge 0 \cr
& \Leftrightarrow (a – b)({a^2} – {b^2}) \ge 0 \cr
& \Leftrightarrow {(a – b)^2}(a + b) \ge 0 \cr} \)
Điều suy ra luôn đúng.
Vậy \({{a + b} \over 2}.{{{a^2} + {b^2}} \over 2} \le {{{a^3} + {b^3}} \over 2}\)
Câu 10: a) Chứng minh rằng, nếu \(x ≥ y ≥ 0\) thì \({x \over {1 + x}} \ge {y \over {1 + y}}\)
b) Chứng minh rằng đối với hai số tùy ý a, b ta có: \({{|a – b|} \over {1 + |a – b|}} \le {{|a|} \over {1 + |a|}} + {b \over {1 + |b|}}\)
a) Với \(x ≥ y ≥ 0\) , ta có:
\(\eqalign{
& {x \over {1 + x}} \ge {y \over {1 + y}} \Leftrightarrow x(1 + y) \ge y(1 + x) \cr
& \Leftrightarrow x + xy \ge y + xy \Leftrightarrow x \ge y \cr} \)
Advertisements (Quảng cáo)
Điều này đúng với giả thiết.
Vậy ta được điều cần phải chứng minh.
b) Vì \(|a – b| ≥ |a| + |b|\) nên theo câu a ta có:
\({{|a – b|} \over {1 + |a – b|}} \le {{|a| + |b|} \over {1 + |a| + |b|}} = {{|a|} \over {1 + |a| + |b|}} + {{|b|} \over {1 + |a| + |b|}} \le\)
\({{|a|} \over {1 + |a|}} + {{|b|} \over {1 + |b|}}\)
Đẳng thức xảy ra khi \(a = b = 0\)
Advertisements (Quảng cáo)
Câu 11: Chứng minh rằng:
a) Nếu a, b là hai số cùng dấu thì \({a \over b} + {b \over a} \ge 2\)
b) Nếu a, b là hai số trái dấu thì \({a \over b} + {b \over a} \le – 2\)
a) Nếu a, b là hai số cùng dấu thì \({a \over b}\,;\,{b \over a}\) là hai số dương nên:
\({a \over b} + {b \over a} \ge 2\sqrt {{a \over b}.{b \over a}} = 2\) (theo bất đẳng thức Cô-si)
b) Nếu a, b là hai số trái dấu thì:
\( – {a \over b} + ( – {b \over a}) \ge 2 \Leftrightarrow {a \over b} + {b \over a} \le – 2\)
Câu 12: Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số \(f(x) = (x + 3)(5 – x)\) với \(-3 ≤ x ≤ 5\)
Vì \(-3 ≤ x ≤ 5\) nên \(x + 3 ≥ 0\) và \(5 – x ≥ 0\)
Hai số không âm nên \(x + 3\) và \(5 – x\) có tổng là: \((x + 3) + (5 – x) = 8\) không đổi
Do đó: f(x) đạt giá trị lớn nhất khi \(x + 3 = 5 – x ⇔ x = 1\)
Vậy với x = 1, f(x) đạt giá trị lớn nhất bằng 16.
Vì \(f(x) ≥ 0\) nên giá trị nhỏ nhất của \(f(x) = 0\) khi \(x = -3\) hoặc \(x = 5\)
