Bài 73: Giải các bất phương trình sau
a) \(\sqrt {{x^2} – x – 12} \ge x – 1\)
b) \(\sqrt {{x^2} – 4x – 12} > 2x + 3\)
c) \({{\sqrt {x + 5} } \over {1 – x}} < 1\)
Đáp án
a) Ta có:
\(\eqalign{
& \sqrt {{x^2} – x – 12} \ge x – 1\cr& \Leftrightarrow \left[ \matrix{
\left\{ \matrix{
x – 1 < 0 \hfill \cr
{x^2} – x – 12 \ge 0 \hfill \cr} \right. \hfill \cr
\left\{ \matrix{
x – 1 \ge 0 \hfill \cr
{x^2} – x – 12 \ge {(x – 1)^2} \hfill \cr} \right. \hfill \cr} \right. \cr
& \Leftrightarrow \left[ \matrix{
\left\{ \matrix{
x < 1 \hfill \cr
\left[ \matrix{
x \le – 3 \hfill \cr
x \ge 4 \hfill \cr} \right. \hfill \cr} \right. \hfill \cr
\left\{ \matrix{
x \ge 1 \hfill \cr
x \ge 13 \hfill \cr} \right. \hfill \cr} \right. \Leftrightarrow \left\{ \matrix{
x \le – 3 \hfill \cr
x \ge 13 \hfill \cr} \right. \cr} \)
Vậy \(S = (-∞, -3] ∪ [13, +∞)\)
b) Ta có:
\(\eqalign{
& \sqrt {{x^2} – 4x – 12} > 2x + 3 \cr&\Leftrightarrow \left[ \matrix{
\left\{ \matrix{
2x + 3 < 0 \hfill \cr
{x^2} – 4x – 12 \ge 0 \hfill \cr} \right. \hfill \cr
\left\{ \matrix{
2x – 3 \ge 0 \hfill \cr
{x^2} – 4x – 12 > {(2x + 3)^2} \hfill \cr} \right. \hfill \cr} \right. \cr
& \Leftrightarrow \left[ \matrix{
\left\{ \matrix{
x < – {3 \over 2} \hfill \cr
\left[ \matrix{
x \le – 2 \hfill \cr
x \ge 6 \hfill \cr} \right. \hfill \cr} \right. \hfill \cr
\left\{ \matrix{
x \ge {3 \over 2} \hfill \cr
3{x^2} + 16x + 21 < 0 \hfill \cr} \right. \hfill \cr} \right. \Leftrightarrow \left[ \matrix{
x \le – 2 \hfill \cr
\left\{ \matrix{
x \ge {3 \over 2} \hfill \cr
– 3 < x < – {7 \over 3} \hfill \cr} \right. \hfill \cr} \right. \cr&\Leftrightarrow x < – 2 \cr} \)
Vậy \(S = (-∞, -2]\)
c) Bất phương trình đã cho tương đương với:
\((I)\,\left\{ \matrix{
1 – x > 0 \hfill \cr
\sqrt {x + 5} < 1 – x \hfill \cr} \right.\,\,\,\,;\,\,\,\,(II)\left\{ \matrix{
1 – x < 0 \hfill \cr
\sqrt {x + 5} > 1 – x \hfill \cr} \right.\)
\(\eqalign{
& (I) \Leftrightarrow \left\{ \matrix{
x < 1 \hfill \cr
x + 5 \ge 0 \hfill \cr
x + 5 < {(1 – x)^2} \hfill \cr
– 5 \le x < 1 \hfill \cr} \right. \Leftrightarrow \left\{ \matrix{
x < 1 \hfill \cr
x \ge – 5 \hfill \cr
{x^2} – 3x – 4 > 0 \hfill \cr} \right. \cr
& \Leftrightarrow \left\{ \matrix{
x < 1 \hfill \cr
x \ge – 5 \hfill \cr
{x^2} – 3x – 4 > 0 \hfill \cr} \right. \Leftrightarrow \left\{ \matrix{
– 5 \le x < 1 \hfill \cr
\left[ \matrix{
x < – 1 \hfill \cr
x > 4 \hfill \cr} \right. \hfill \cr} \right. \cr&\Leftrightarrow – 5 \le x < 1 \cr} \)
Vậy \(S = [-5, -1) ∪ (1, +∞)\)
Bài 74: Tìm các giá trị của m sao cho phương trình:
x4 + (1 – 2m)x2 + m2 – 1 = 0
Advertisements (Quảng cáo)
a) Vô nghiệm
b) Có hai nghiệm phân biệt
c) Có bốn nghiệm phân biệt
Đáp án
Đặt y = x2 ; y ≥ 0, ta được phương trình:
y2 + (1 – 2m)y + m2 – 1 = 0 (1)
a) Phương trình đã cho vô nghiệm ⇔ (1) vô nghiệm hoặc (1) chỉ có nghiệm âm
Phương trình (1) vô nghiệm khi và chỉ khi:
\(\eqalign{
& \Delta = {(1 – 2m)^2} – 4({m^2} – 1) = 5 – 4m < 0 \cr
& \Rightarrow m > {5 \over 4} \cr} \)
Phương trình (1) chỉ có nghiệm âm khi và chỉ khi:
\(\left\{ \matrix{
\Delta \ge 0 \hfill \cr
P > 0 \hfill \cr
S < 0 \hfill \cr} \right.\)
Advertisements (Quảng cáo)
Thay Δ = 5 – 4m, P = m2– 1 và S = 2m – 1, ta có hệ:
\(\left\{ \matrix{
5 – 4m \ge 0 \hfill \cr
{m^2} – 1 > 0 \hfill \cr
2m – 1 < 0 \hfill \cr} \right. \Leftrightarrow m < – 1\)
Vậy phương trình đã cho vô nghiệm khi và chỉ khi
\(\left[ \matrix{
m < – 1 \hfill \cr
m > {5 \over 4} \hfill \cr} \right.\)
b) Phương trình đã cho có hai nghiệm phân biệt khi và chỉ khi phương trình (1) có hai nghiệm trái dấu hoặc có một nghiệm kép dương.
Ta xét hai trường hợp:
+ Phương trình (1) có hai nghiệm trái dấu khi và chỉ khi:
P = m2 – 1 < 0 hay -1 < m < 1
Nếu Δ = 0 hoặc \(m = {5 \over 4}\) thì phương trình (1) có một nghiệm kép dương \(x = {3 \over 4}\)
Vậy phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt khi và chỉ khi:
\(m \in ( – 1,1) \cup {\rm{\{ }}{5 \over 4}{\rm{\} }}\)
c) Phương trình đã cho có bốn nghiệm phân biệt khi và chỉ khi phương trình (1) có hai nghiệm dương phân biệt, tức là:
\(\left\{ \matrix{
\Delta > 0 \hfill \cr
P < 0 \hfill \cr
S > 0 \hfill \cr} \right. \Leftrightarrow \left\{ \matrix{
5 – 4m > 0 \hfill \cr
{m^2} – 1 > 0 \hfill \cr
2m – 1 > 0 \hfill \cr} \right. \Leftrightarrow 1 < m < {5 \over 4}\)
Bài 75: Tìm các giá trị của a sao cho phương trình:
(a-1)x4 – ax2 + a2 – 1 = 0 có ba nghiệm phân biệt.
Đáp án
Đặt y = x2, ta có phương trình:
(a – 1)y2 – ay + a2 – 1 0 (1)
Phương trình đã cho có ba nghiệm phân biệt khi và chỉ khi phương trình (1) có một nghiệm dương và một nghiệm bằng 0.
Phương trình (1) có nghiệm y = 0 khi và chỉ khi:
a2 – 1 = 0 hay a = ± 1
+ Với a = 1, phương trình (1) trở thành –y = 0. Trong trường hợp này, (1) chỉ có một nghiệm là 0.
+ Với a = -1, phương trình (1) trở thành: -2y2 + y = 0
Giải phương trình này ta được:
\(\left[ \matrix{
y = 0 \hfill \cr
y = {1 \over 2} \hfill \cr} \right.\)
Vậy phương trình đã cho có ba nghiệm phân biệt khi và chỉ khi a = -1.
