Bài 80: Với giá trị nào của m, bất phương trình:
(m2 + 1)x + m(x + 3) + 1 > 0 nghiệm đúng ∀x ∈ [-1; 2] ?
Đáp án
Ta viết phương trình đã cho dưới dạng:
(m2 + m + 1)x + 3m + 1 > 0
Đặt f(x) = (m2 + m + 1)x + 3m + 1 ,
Với mỗi giá trị của m, đồ thị của hàm số y = f(x) là đường thẳng (Dm).
Gọi Am và Bm là các điểm trên đường thẳng (Dm) có hoành độ theo thứ tự là – 1 và 2.
f(x) > 0 với ∀x ∈ [-1; 2] khi và chỉ khi đoạn thẳng AmBm nằm phía trên trục hoành. Điều này xảy ra khi và chỉ khi Am và Bmnằm phía trên trục hoành, tức là:
\(\left\{ \matrix{
f( – 1) > 0 \hfill \cr
f(2) > 0 \hfill \cr} \right.\)
Thay f(-1) = -m2 + 2m và f(2) = 2m2+ 5m + 3 , ta được hệ bất phương trình:
\(\left\{ \matrix{
– {m^2} + 2m > 0 \hfill \cr
2{m^2} + 5m + 3 > 0 \hfill \cr} \right. \Leftrightarrow 0 < m < 2\)
Bài 81: Giải và biện luận các bất phương trình sau:
a) a2x + 1 > (3a – 2)x – 3
b) 2x2 + (m – 9)x + m2 + 3m + 4 ≥ 0
Đáp án
a) Bất phương trình đã cho tương đương với bất phương trình:
(a2 – 3a + 2) x > 2
Advertisements (Quảng cáo)
+ Nếu a2 – 3a + 2 > 0, tức là a < 1 hay a > 2 thì nghiệm của bất phương trình đã cho là: \(x > {2 \over {{a^2} – 3a + 2}}\)
+ Nếu a2 – 3a + 2 < 0, tức là 1 < a < 2 thì nghiệm của bất phương trình đã cho là: \(x < {2 \over {{a^2} – 3a + 2}}\)
+ Nếu a2 – 3a + 2 = 0, tức là a = 1 hoặc a = 2 thì bất phương trình đã cho trở thành 0x > 2. Khi đó, bất phương trình này vô nghiệm.
b) Ta có:
Δ = (m – 9)2 – 8(m2 + 3m + 4) = -7(m2 + 6m – 7)
Nếu Δ ≤ 0 hay m ≤ -7 hoặc m ≥ 1 thì bất phương trình đã cho nghiệm đúng với mọi x ∈ R
Nếu Δ > 0 hay -7 < m < 1 thì tam thức ở vế trái của bất phương trình có hai nghiệm phân biệt :
\(\eqalign{
& {x_1} = {{9 – m – \sqrt { – 7({m^2} + 6m – 7)} } \over 4} \cr
& {x_2} = {{9 – m + \sqrt { – 7({m^2} + 6m – 7)} } \over 4} \cr} \)
Nghiệm của bất phương trình đã cho là: x ≤ x1 hoặc x ≥ x2.
Vậy:
+ Nếu m ≤ -7 hoặc m ≥ 1 thì tập nghiệm của bất phương trình đã cho là R
+ Nếu -7 < m < 1 thì tập nghiệm của bất phương trình đã cho là:
Advertisements (Quảng cáo)
\(( – \infty ;{{9 – m – \sqrt { – 7({m^2} + 6m – 7)} } \over 4}) \cup \)
\(({{9 – m + \sqrt { – 7({m^2} + 6m – 7)} } \over 4},+\infty )\)
Bài 82: Giải các bất phương trình sau:
a) \({{x – 2} \over {{x^2} – 9x + 20}} > 0\)
b) \({{2{x^2} – 10x + 14} \over {{x^2} – 3x + 2}} \ge 1\)
Đáp án
a) Bảng xét dấu:
\(S = (2, 4) ∪ (5, +∞)\)
b) Bất phương trình đã cho tương đương với bất phương trình:
\({{2{x^2} – 10x + 14} \over {{x^2} – 3x + 2}} – 1 \ge 0\,\,\,(1)\)
Ta có:
\((1) \Leftrightarrow {{{x^2} – 7x + 12} \over {{x^2} – 3x + 2}} \ge 0 \Leftrightarrow \left[ \matrix{
x < 1 \hfill \cr
2 < x \le 3 \hfill \cr
x \ge 4 \hfill \cr} \right.\)
Tập nghiệm của bất phương trình đã cho là:
\(S = (-∞, 1) ∪ (2, 3] ∪ (4, +∞)\)
Bài 83: Tìm các giá trị của m sao cho R là tập nghiệm của mỗi bất phương trình:
a) (m – 4)x2 – (m – 6)x + m – 5 ≤ 0
b) (m2 – 1)x2 + 2(m + 1)x + 3 > 0
Đáp án
a)
+ Với m = 4, bất phương trình thành: 2x – 1 ≤ 0, không thỏa mãn điều kiện với mọi x
+ Với m ≠ 4. : (m – 4)x2 – (m – 6)x + m – 5 ≤ 0, ∀x
\(\eqalign{
& \left\{ \matrix{
m – 4 < 0 \hfill \cr
\Delta = {(m – 6)^2} – 4(m – 4)(m – 5) \le 0 \hfill \cr} \right.\cr& \Leftrightarrow \left\{ \matrix{
m < 4 \hfill \cr
– 3{m^2} + 24m – 44 \le 0 \hfill \cr} \right. \cr
& \Leftrightarrow \left\{ \matrix{
m < 4 \hfill \cr
\left[ \matrix{
m \le 4 – {{2\sqrt 3 } \over 2} \hfill \cr
m \ge 4 + {{2\sqrt 3 } \over 2} \hfill \cr} \right. \hfill \cr} \right. \Leftrightarrow m \le 4 – {{2\sqrt 3 } \over 3} \cr} \)
b)
+ Với m = 1, bất phương trình trở thành 4x + 3 > 0 , không thỏa mãn với mọi x
+ Với m = -1, bất phương trình trở thành 3> 0 thỏa mãn với mọi x
+ Với m ≠ -1, (m2 – 1)x2 + 2(m + 1) + 3 > 0 ∀x
\(\eqalign{
& \Leftrightarrow \left\{ \matrix{
{m^2} – 1 > 0 \hfill \cr
\Delta ‘ = {(m + 1)^2} – 3({m^2} – 1) < 0 \hfill \cr} \right. \cr&\Leftrightarrow \left\{ \matrix{
\left[ \matrix{
m < – 1 \hfill \cr
m > 1 \hfill \cr} \right. \hfill \cr
– 2{m^2} + 2m + 4 < 0 \hfill \cr} \right. \cr
& \Leftrightarrow \left\{ \matrix{
\left[ \matrix{
m < – 1 \hfill \cr
m > 1 \hfill \cr} \right. \hfill \cr
\left[ \matrix{
m < – 1 \hfill \cr
m > 2 \hfill \cr} \right. \hfill \cr} \right. \Leftrightarrow \left[ \matrix{
m < – 1 \hfill \cr
m > 2 \hfill \cr} \right. \cr} \)
Vậy với m ≤ -1 hoặc m > 2 thì bất phương trình đã cho có tập nghiệm là \(\mathbb R\)
