Câu 5: Chứng minh rằng, nếu a > 0 và b > 0 thì \({1 \over a} + {1 \over b} \ge {4 \over {a + b}}\)
Đáp án
Với \(a > 0, b > 0\), ta có:
\(\eqalign{
& {1 \over a} + {1 \over b} \ge {4 \over {a + b}} \Leftrightarrow {{a + b} \over {ab}} \ge {4 \over {a + b}} \cr&\Leftrightarrow {(a + b)^2} \ge 4ab \cr
& \Leftrightarrow {a^2} + 2ab + {b^2} \ge 4ab \Leftrightarrow {(a – b)^2} \ge 0 \cr} \)
Ta thấy điều này luôn đúng
Vậy \({1 \over a} + {1 \over b} \ge {4 \over {a + b}}\)
Đẳng thức xảy ra khi \(a = b\)
Câu 6: Chứng minh rằng nếu a ≥ 0 và b ≥ 0 thì a3 + b3 ≥ ab(a + b). Khi nào đẳng thức xảy ra?
Đáp án
Advertisements (Quảng cáo)
Ta có:
a3 + b3 ≥ ab(a + b)
⇔ (a + b)(a2 – ab + b2) – ab(a + b) ≥ 0
⇔ (a + b)(a – b)2 ≥ 0 (luôn đúng)
Dấu bằng xảy ra khi a = b
Câu 7: a) Chứng minh rằng a2 + ab + b2 ≥ 0 với mọi số thực a, b.
Advertisements (Quảng cáo)
b) Chứng minh rằng với mọi số thực a, b tùy ý, ta có a4 + b4 ≥ a3b + ab3
Đáp án
a) Ta có:
\(\eqalign{
& {a^2} + ab + {b^2} \ge 0 \Leftrightarrow {a^2} + 2a{b \over 2} + {{{b^2}} \over 4} + {{3{b^2}} \over 4} \ge 0 \cr
& \Leftrightarrow {(a + {b \over 2})^2} + {{3{b^2}} \over 4} \ge 0 \cr} \)
Ta thấy điều trên luôn đúng.
b) Ta có:
\(\eqalign{
& {a^4} + {b^4} \ge {\rm{ }}{a^3}b + a{b^3} \cr&\Leftrightarrow {a^4} – {a^3}b – a{b^3} + {b^4} \ge 0 \cr
& \Leftrightarrow {a^3}(a – b) – {b^3}(a – b) \ge 0 \cr
& \Leftrightarrow (a – b)({a^3} – {b^3}) \ge 0 \cr
& \Leftrightarrow {(a – b)^2}({a^2} + ab + {b^2}) \ge 0 \cr} \)
Ta thấy rằng điều này luôn đúng.
Vậy a4 + b4 ≥ a3b + ab3 với mọi a, b
Câu 8: Chứng minh rằng nếu a, b và c là độ dài ba cạnh một tam giác thì a2 + b2 + c2 < 2(ab + bc + ca).
Đáp án
\(\eqalign{
& a < b + c \Rightarrow {a^2} < a\left( {b + c} \right) \Rightarrow {a^2} < ab + ac\,\,\,(1) \cr
& b < a + c \Rightarrow {b^2} < ba + bc\,\,(2) \cr
& c < a + b \Rightarrow {c^2} < ca + cb\,\,\,(3) \cr
& \cr} \)
Cộng vế với vế của ba bất đẳng thức (1), (2), (3) ta được: \({a^2} + {b^2} + {c^2} < 2\left( {ab + bc + ca} \right)\)
