Bài 84: Giải các phương trình sau
a) \(|x^2– 2x – 3| = 2x + 2\)
b) \(\sqrt {{x^2} – 4} = 2(x – \sqrt 3 )\)
Đáp án
a) Điều kiện: \(x ≥ -1\). Ta có:
\(\eqalign{
& \left| {{x^2}-2x-3} \right| = 2x + {\rm{ }}2\cr& \Leftrightarrow \left[ \matrix{
{x^2}-2x-3 = 2x + 2 \hfill \cr
{x^2}-2x-3 = – 2x – 2 \hfill \cr} \right. \cr
& \Leftrightarrow \left[ \matrix{
{x^2} – 4x – 5 = 0 \hfill \cr
{x^2} – 1 = 0 \hfill \cr} \right. \Leftrightarrow \left[ \matrix{
x = – 1;\,x = 5 \hfill \cr
x = \pm 1 \hfill \cr} \right. (\text{nhận})\cr} \)
Vậy S = {-1, 1, 5}
b) Ta có:
\(\sqrt {{x^2} – 4} = 2(x – \sqrt 3 )\)
\(\Leftrightarrow \left\{ \matrix{
x \ge \sqrt 3 \hfill \cr
{x^2} – 4 = 4({x^2} – 2\sqrt 3 + 3) \hfill \cr} \right. \)
\(\Leftrightarrow \left\{ \matrix{
x \ge \sqrt 3 \hfill \cr
3{x^2} – 8\sqrt 3 + 16 = 0 \hfill \cr} \right.\)
Vậy \(S = {\rm{\{ }}{{4\sqrt 3 } \over 3}{\rm{\} }}\)
Bài 85: Giải các bất phương trình sau:
a) \(\sqrt {{x^2} – 4x – 12} \le x – 4\)
b) \((x – 2)\sqrt {{x^2} + 4} \le {x^2} – 4\)
c) \(\sqrt {{x^2} – 8x} \ge 2(x + 1)\)
d) \(\sqrt {x(x + 3)} \le 6 – {x^2} – 3x\)
Đáp án
a) Ta có:
\(\eqalign{
& \sqrt {{x^2} – 4x – 12} \le x – 4 \cr&\Leftrightarrow \left\{ \matrix{
{x^2} – 4x – 12 \ge 0 \hfill \cr
x – 4 \le 0 \hfill \cr
{x^2} – 4x – 12 \le {(x – 4)^2} \hfill \cr} \right. \cr
& \Leftrightarrow \left\{ \matrix{
\left[ \matrix{
x \le – 2 \hfill \cr
x \ge 6 \hfill \cr} \right. \hfill \cr
x \ge 4 \hfill \cr
4x \le 28 \hfill \cr} \right. \Leftrightarrow 6 \le x \le 7 \cr} \)
Vậy \(S = [6, 7]\)
b) Ta có:
\((x – 2)\sqrt {{x^2} + 4} \le {x^2} – 4\)
\(\Leftrightarrow (x – 2)(\sqrt {{x^2} + 4} – x – 2) \le 0\)
Advertisements (Quảng cáo)
+ Với x = 2 là nghiệm của bất phương trình
+ Với x > 2, ta có:
\((x – 2)\sqrt {{x^2} + 4} \le {x^2} – 4 \)
\(\Leftrightarrow {x^2} + 4 \le {(x + 2)^2} \Leftrightarrow x \ge 0\)
Kết hợp với điều kiện, ta có: x > 2.
+ Với x < 2, ta có:
\(\eqalign{
& (x – 2)\sqrt {{x^2} + 4} \le {x^2} – 4 \cr&\Leftrightarrow \left[ \matrix{
x + 2 > 0 \hfill \cr
\left\{ \matrix{
x + 2 \ge 0 \hfill \cr
{x^2} + 4 \ge {(x + 2)^2} \hfill \cr} \right. \hfill \cr} \right. \cr
& \Leftrightarrow \left[ \matrix{
x < – 2 \hfill \cr
\left\{ \matrix{
x \ge – 2 \hfill \cr
x \le 0 \hfill \cr} \right. \hfill \cr} \right. \Leftrightarrow x \le 0 \cr} \)
Vậy \(S = (-∞, 0] ∪ [2, +∞)\)
c) Bất phương trình đã cho tương đương với:
\((I) \Leftrightarrow \left\{ \matrix{
{x^2} – 8x \ge 0 \hfill \cr
x + 1 < 0 \hfill \cr} \right.\)
hoặc
\((II) \Leftrightarrow \left\{ \matrix{
x + 1 \ge 0 \hfill \cr
{x^2} – 8x \ge 4{(x + 1)^2} \hfill \cr} \right.\)
Ta có:
\(\eqalign{
& (I) \Leftrightarrow \left\{ \matrix{
\left[ \matrix{
x \le 0 \hfill \cr
x \ge 8 \hfill \cr} \right. \hfill \cr
x < – 1 \hfill \cr} \right. \Leftrightarrow x < – 1 \cr
& (II)\, \Leftrightarrow \left\{ \matrix{
x \ge – 1 \hfill \cr
3{x^2} + 16x + 4 \le 0 \hfill \cr} \right.\cr& \Leftrightarrow \left\{ \matrix{
x \ge – 1 \hfill \cr
{{ – 8 – 2\sqrt {13} } \over 3} \le x \le {{ – 8 + 2\sqrt {13} } \over 3} \hfill \cr} \right. \cr&\Leftrightarrow – 1 \le x \le {{ – 8 + 2\sqrt {13} } \over 3} \cr} \)
Tập nghiệm của bất phương trình đã cho là:
Advertisements (Quảng cáo)
\(S = ( – \infty , – 1) \cup {\rm{[}} – 1,\,{{2\sqrt {13} – 8} \over 3}{\rm{]}} = ( – \infty ,{{2\sqrt {13} – 8} \over 3}{\rm{]}}\)
d) Đặt \(t = \sqrt {x(x + 3)} \,\,\,(t \ge 0)\)
⇒ x2 + 3x = t2 ⇔ t2 + t – 6 ≤ 0 ⇔ -3 ≤ t ≤ 2
Kết hợp với điều kiện: 0 ≤ t ≤ 2 ⇔ 0 ≤ x2 + 3x ≤ 4
\( \Leftrightarrow \left\{ \matrix{
{x^2} + 3x \ge 0 \hfill \cr
{x^2} + 3x – 4 \le 0 \hfill \cr} \right. \Leftrightarrow \left\{ \matrix{
\left[ \matrix{
x \le – 3 \hfill \cr
x \ge 0 \hfill \cr} \right. \hfill \cr
– 4 \le x \le 1 \hfill \cr} \right. \)
\(\Leftrightarrow \left[ \matrix{
– 4 \le x \le -3 \hfill \cr
0 \le x \le 1 \hfill \cr} \right.\)
Vậy \(S = [-4, -3] ∪ [0, 1]\)
Bài 86: Với giá trị nào của a, các hệ phương trình sau có nghiệm
a)
\(\left\{ \matrix{
{x^2} – 5x + 6 < 0 \hfill \cr
ax + 4 < 0 \hfill \cr} \right.\)
b)
\(\left\{ \matrix{
4x + 1 < 7x – 2 \hfill \cr
{x^2} – 2ax + 1 \le 0 \hfill \cr} \right.\)
Đáp án
a) Bất phương trình đầu của hệ có nghiệm là 2 < x < 3
Bất phương trình thứ hai của hệ tương đương với bất phương trình: ax < -4
+ Nếu a = 0 thì bất phương trình này vô nghiệm. Do đó, hệ vô nghiệm.
+ Nếu a > 0 thì nghiệm của phương trình là \(x < – {4 \over a}\)
Vì \( – {4 \over a} < 0\) nên hệ vô nghiệm.
+ Nếu a < 0 thì nghiệm của bất phương trình này là \(x > – {4 \over a}\)
Hệ có nghiệm khi và chỉ khi:
\(\left\{ \matrix{
a < 0 \hfill \cr
– {4 \over a} < 3 \hfill \cr} \right. \Leftrightarrow a < – {4 \over 3}\)
Vậy hệ có nghiệm khi và chỉ khi: \(a < – {4 \over a}\)
b) Bất phương trình đầu của hệ có nghiệm là x > 1
Xét bất phương trình thứ hai của hệ:
Ta có: Δ’= a2 – 1
Nếu Δ’= 0 ⇔ a = ± 1
+ Với a = 1, nghiệm của bất phương trình là x = 1
Do đó, hệ vô nghiệm.
+ Với a = -1, nghiệm của bất phương trình là x = -1
Nếu Δ’ < 0 hay -1 < a < 1 thì bất phương trình này vô nghiêm.
Do đó, hệ vô nghiệm.
Nếu Δ’ > 0 hay a < -1 hoặc a > 1 thì tam thức ở vế trái của bất phương trình có hai nghiệm phân biệt x1, x2.
Nghiệm của bất phương trình này là: x1 ≤ 1 ≤ x2 (giả sử x1 < x2)
Theo định lý Vi-ét, ta có: x1x2 = 1 và x1 + x2 = 2a
+ Nếu a < -1 thì cả hai nghiệm x1 và x2 đều âm. Do đó, hệ đã cho vô nghiệm.
+ Nếu a > 1 thì hai nghiệm x1 và x2 đều dương. Ngoài ra vì x1x2 = 1 và x1 ≠ x2 nên x1 < 1 < x2.
Do đó, hệ có nghiệm.
