Bài 69: Giải các phương trình và bất phương trình sau
a) \(|{{{x^2} – 2} \over {x + 1}}|\, = 2\)
b) \(|{{3x + 4} \over {x – 2}}|\, \le 3\)
c) \(|{{2x – 3} \over {x – 3}}|\,\, \ge 1\)
d) \(|2x + 3| = |4 – 3x|\)
Đáp án
a) Điều kiện: x ≠ – 1
Ta có:
\(\eqalign{
& |{{{x^2} – 2} \over {x + 1}}|\, = 2 \Leftrightarrow \left[ \matrix{
{{{x^2} – 2} \over {x + 1}} = 2 \hfill \cr
{{{x^2} – 2} \over {x + 1}} = – 2 \hfill \cr} \right. \cr&\Leftrightarrow \left[ \matrix{
{x^2} – 2 = 2x + 2 \hfill \cr
{x^2} – 2 = – 2x – 2 \hfill \cr} \right. \cr
& \Leftrightarrow \left[ \matrix{
{x^2} – 2x – 4 = 0 \hfill \cr
{x^2} + 2x = 0 \hfill \cr} \right. \Leftrightarrow \left[ \matrix{
x = 1 \pm \sqrt 5 \hfill \cr
\left[ \matrix{
x = 0 \hfill \cr
x = – 2 \hfill \cr} \right. \hfill \cr} \right. \cr} \)
Vậy \(S = {\rm{\{ }}1 \pm \sqrt 5 ;\,0;\,2\} \)
b) Điều kiện: x ≠ 2
Ta có:
\(\eqalign{
& |{{3x + 4} \over {x – 2}}|\, \le 3 \Leftrightarrow |3x + 4|\, \le \,3|x – 2| \cr
& \Leftrightarrow {(3x + 4)^2} – 9{(x – 2)^2} \le 0 \cr
& \Leftrightarrow 10(6x – 2) \le 0 \Leftrightarrow x \le {1 \over 3} \cr} \)
Vậy \(S = ( – \infty ,{1 \over 3}{\rm{]}}\)
c) Điều kiện: x ≠ 3
Ta có:
\(\eqalign{
& |{{2x – 3} \over {x – 3}}|\,\, \ge 1\, \Leftrightarrow \,|2x – 3|\, \ge \,|x – 3| \cr
& \Leftrightarrow {(2x – 3)^2} – {(x – 3)^2} \ge 0 \cr
& \Leftrightarrow x(3x – 6) \ge 0 \Leftrightarrow \left[ \matrix{
x \le 0 \hfill \cr
x \ge 2 \hfill \cr} \right. \cr} \)
Vậy \(S = (-∞, 0] ∪ [2, 3) ∪ [3, +∞)\)
d) Ta có:
\(|2x + 3|\, = \,|4 – 3x|\, \Leftrightarrow \left[ \matrix{
2x + 3 = 4 – 3x \hfill \cr
2x + 3 = 3x – 4 \hfill \cr} \right. \)
\(\Leftrightarrow \left[ \matrix{
x = {1 \over 5} \hfill \cr
x = 7 \hfill \cr} \right.\)
Vậy \(S = {\rm{\{ }}{1 \over 5},7\} \)
Bài 70: Giải các bất phương trình sau:
Advertisements (Quảng cáo)
a) |x2 – 5x + 4| ≤ x2 + 6x + 5
b) 4x2 + 4x – |2x + 1| ≥ 5
Đáp án
a) Áp dụng:
|A| ≤ B ⇔ -B ≤ A ≤ B
|x2 – 5x + 4| ≤ x2 + 6x + 5
⇔ -x2 – 6x – 5 ≤ x2 – 5x + 4 ≤ x2 + 6x + 5
\(\left\{ \matrix{
2{x^2} + x + 9 \ge 0 \hfill \cr
11x \ge – 1 \hfill \cr} \right. \Leftrightarrow x \ge – {1 \over {11}}\)
Vậy \(S = {\rm{[}} – {1 \over {11}}; + \infty )\)
b) Ta có: 4x2 + 4x – |2x + 1| ≥ 5
⇔ |2x + 1| ≤ 4x2 + 4x – 5
⇔ -4x2 – 4x + 5 ≤ 2x + 1 ≤ 4x2 + 4x – 5
\( \Leftrightarrow \left\{ \matrix{
4{x^2} + 6x – 4 \ge 0 \hfill \cr
4{x^2} + 2x – 6 \ge 0 \hfill \cr} \right. \Leftrightarrow \left\{ \matrix{
\left[ \matrix{
x \le – 2 \hfill \cr
x \ge {1 \over 2} \hfill \cr} \right. \hfill \cr
\left[ \matrix{
x \le – {3 \over 2} \hfill \cr
x \ge 1 \hfill \cr} \right. \hfill \cr} \right. \)
\(\Leftrightarrow \left[ \matrix{
x \le – 2 \hfill \cr
x \ge 1 \hfill \cr} \right.\)
Advertisements (Quảng cáo)
Vậy \(S = (-∞, -2] ∪ [1, + ∞)\)
Bài 71: Giải các phương trình sau
a) \(\sqrt {5{x^2} – 6x – 4} = 2(x – 1)\)
b) \(\sqrt {{x^2} + 3x + 12} = {x^2} + 3x\)
Đáp án
a) Ta có:
\(\eqalign{
& \sqrt {5{x^2} – 6x – 4} = 2(x – 1)\cr& \Leftrightarrow \left\{ \matrix{
x \ge 1 \hfill \cr
5{x^2} – 6x – 4 = 4{(x – 1)^2} \hfill \cr} \right. \cr
& \Leftrightarrow \left\{ \matrix{
x \ge 1 \hfill \cr
{x^2} + 2x – 8 = 0 \hfill \cr} \right. \Leftrightarrow x = 2 \cr} \)
Vậy S = {2}
b) Đặt \(t = \sqrt {{x^2} + 3x + 12} \,\,\,(t \ge 0) \Rightarrow {x^2} + 3x = {t^2} – 12\) , ta có phương trình:
\(t = {t^2} – 12 \Leftrightarrow {t^2} – t – 12 = 0 \Leftrightarrow \left[ \matrix{
t = 4 \hfill \cr
t = – 3 \hfill \cr} \right.\)
Ta thấy t = 4 thỏa mãn điều kiện xác định nên:
\(\eqalign{
& t = 4 \Leftrightarrow \sqrt {{x^2} + 3x + 12} = 4 \Leftrightarrow {x^2} + 3x – 4 = 0 \cr
& \Leftrightarrow \left[ \matrix{
x = 1 \hfill \cr
x = – 4 \hfill \cr} \right. \cr} \)
Vậy S = {4, 1}
Bài 72: Giải các bất phương trình sau
a) \(\sqrt {{x^2} + 6x + 8} \le 2x + 3\)
b) \({{2x – 4} \over {\sqrt {{x^2} – 3x – 10} }} > 1\)
c) \(6\sqrt {(x – 2)(x – 32)} \le {x^2} – 34x + 48\)
Đáp án
a)
Áp dụng:
\(\sqrt A = B \Leftrightarrow \left\{ \matrix{
A \ge 0 \hfill \cr
B \ge 0 \hfill \cr
A \le {B^2} \hfill \cr} \right.\)
Ta có:
\(\eqalign{
& \sqrt {{x^2} + 6x + 8} \le 2x + 3 \cr&\Leftrightarrow \left\{ \matrix{
{x^2} + 6x + 8 \ge 0 \hfill \cr
2x + 3 \ge 0 \hfill \cr
{x^2} + 6x + 8 \le {(2x + 3)^2} \hfill \cr} \right. \cr
& \Leftrightarrow \left\{ \matrix{
\left[ \matrix{
x \le – 4 \hfill \cr
x \ge – 2 \hfill \cr} \right. \hfill \cr
x \ge – {3 \over 2} \hfill \cr
3{x^2} + 6x + 1 \ge 0 \hfill \cr} \right. \cr&\Leftrightarrow \left\{ \matrix{
x \ge – {3 \over 2} \hfill \cr
\left[ \matrix{
x \le {{ – 3 – \sqrt 6 } \over 3} \hfill \cr
x \ge {{ – 3 + \sqrt 6 } \over 3} \hfill \cr} \right. \hfill \cr} \right. \Leftrightarrow x \ge {{\sqrt 6 } \over 3} – 1 \cr} \)
Vậy \(S = {\rm{[}}{{\sqrt 6 } \over 3} – 1, + \infty )\)
b) Ta có:
\(\eqalign{
& {{2x – 4} \over {\sqrt {{x^2} – 3x – 10} }} > 1\cr& \Leftrightarrow \left\{ \matrix{
{x^2} – 3x – 10 > 0 \hfill \cr
\sqrt {{x^2} – 3x – 10} < 2x – 4 \hfill \cr} \right. \cr
& \Leftrightarrow \left\{ \matrix{
{x^2} – 3x – 10 > 0 \hfill \cr
2x – 4 > 0 \hfill \cr
{x^2} – 3x – 10 < {(2x – 4)^2} \hfill \cr} \right. \cr&\Leftrightarrow \left\{ \matrix{
\left[ \matrix{
x < – 2 \hfill \cr
x > 5 \hfill \cr} \right. \hfill \cr
x > 2 \hfill \cr
3{x^2} – 13x + 26 > 0\,\,(\forall x) \hfill \cr} \right. \Leftrightarrow x > 5 \cr} \)
Vậy \(S = (5, +∞)\)
c) Đặt \(y = \sqrt {(x – 2)(x – 32)} = \sqrt {{x^2} – 34x + 64} \,\,\,(y \ge 0)\)
⇒ x2 – 34x = y2 – 64
Ta có bất phương trình:
6y ≤ y2 – 16 ⇔ y2 – 6y – 16 ≥ 0 ⇔ y ≤ 2 hoặc y ≥ 8
Với điều kiện y ≥ 0, ta có:
y ≥ 8 ⇔ x2 – 34x + 64 ≥ 64 ⇔ x2 – 34x ≥ 0
⇔ x ≤ 0 hoặc x ≥ 34
Vậy \(S = (-∞, 0] ∪ [34, +∞)\)
