Bài 18, 19, 20 trang 167, 168 SBT Toán 9 tập 2: Tính diện tích toàn phần S của hình tạo thành khi quay hình bình hành ABCD đúng một vòng quanh cạnh AB và diện tích toàn phần S1 của hình tạo thành khi quay quanh cạnh AD

Câu 18: Diện tích toàn phần của hình nón, theo các kích thước của hình 97 là

(A) 220;

(B) 264;

(C) 308;

(D) 374.

(Chọn \(\pi  = {{22} \over 7}\) và tính gần đúng đến cm²).

Hãy chọn kết quả đúng.

Diện tích xung quanh hình nón: \({S_{xq}} = \pi rl = {{22} \over 7}.7.10 = 220(c{m^{2)}}\)

Diện tích đáy hình nón: \(S = \pi {r^2} = {{22} \over 7}{.7^2} = 154(c{m^2})\)

S_TP  = S_xq + S_đáy = 374.

Chọn (D) 374.

Câu 19: Cho hình bình hành ABCD với AB = 1, AD = x (x > 0) và \(\widehat {BAD} = 60^\circ \).

a) Tính diện tích toàn phần S của hình tạo thành khi quay hình bình hành ABCD đúng một vòng quanh cạnh AB và diện tích toàn phần S₁ của hình tạo thành khi quay quanh cạnh AD.

b) Xác định giá trị x khi S = S₁ và S = 2S₁.

a) khi quay hình bình hành ABCD một vòng quanh cạnh AB thì cạnh AD và BC vạch nên 2 hình nón bằng nhau có đường sinh AD = BC = x,  cạnh CD vạch nên hình trụ có bán kính đáy bằng bán kính hình tròn.

Trong ∆AHD có \(\widehat {AHD} = 90^\circ ;\widehat A = 60^\circ \)

        DH = AD. sin60º = \(x.{{\sqrt 3 } \over 2} = {{x\sqrt 3 } \over 2}\)

Diện tích toàn phần của hình tạo thành bằng tổng diện tích xung quanh 2 hình nón và diện tích xung quanh hình trụ: S = S­_{xq trụ} + 2S_{xq nón}

\(\eqalign{
& S = 2\pi DH.DC + 2.\pi DH.AD \cr
& = 2\pi {{x\sqrt 3 } \over 2}.1 + 2.\pi .{{x\sqrt 3 } \over 2}.x \cr
& = \pi x\sqrt 3 + \pi {x^2}\sqrt 3 \cr} \)

\( \Rightarrow S = \pi x\sqrt 3 (1 + x)\)

Khi quay hình bình hành quanh trục AD một vòng thì cạnh AB và DC vạch nên hai hình nón bằng nhau có đường sinh AB = CD = 1. Cạnh AD vạch nên hình trụ có bán kính đáy bằng bán kính nón.

Bán kính đáy: DH = AB. sin60º = \({{\sqrt 3 } \over 2}.\)

S₁: diện tích toàn phàn hình tạo thành bằng tổng diện tích xung quanh hai hình nón cộng với diện tích hình trụ.

         S₁ = S_{xq trụ}  + 2.S_{xq nón}

\({S_1} = 2.\pi .DH.AD + 2.\pi .DH.AB = 2\pi {{\sqrt 3 } \over 2}.x + 2.\pi .{{\sqrt 3 } \over 2}.1\)

\({S_1} = \pi \sqrt 3 (x + 1)\)

b) Để S = S₁ \(\Rightarrow \pi x\sqrt 3 (1 + x) = \pi \sqrt 3 (x + 1) \Leftrightarrow x(1 + x) = x + 1\)

\( \Leftrightarrow {x^2} – 1 = 0 \Leftrightarrow (x + 1)(x – 1) = 0\)

Vì x > 0 \( \Rightarrow \) x + 1 # 0 \( \Rightarrow \) x – 1 = 0 \( \Leftrightarrow \) x = 1

Để S =2S₁ \(\Rightarrow \) \(\pi x\sqrt 3 (1 + x) = 2\pi \sqrt 3 (x + 1) \Leftrightarrow x(x + 1) = 2(x + 1)\)

\( \Leftrightarrow \) x² – x – 2 = 0 \( \Leftrightarrow \) x² – 2x  + x – 2 = 0 \( \Leftrightarrow \) (x – 2)(x + 1) = 0

Vì x > 0 \( \Rightarrow \) x + 1 # 0 \( \Rightarrow \) x – 2 = 0 \( \Leftrightarrow \) x = 2

Câu 20: Hình 98 có một hình nón, bán kính đường tròn đáy là \({m \over 2}(cm)\), chiều cao là 2l (cm) và một hình trụ, bán kính đường tròn đáy m (cm), chiều cao 2l (cm).

Người ta múc đầy nước vào hình nón và đổ vào hình trụ (không chứa gì cả) thì độ cao của nước trong hình trụ là:

(A) \({l \over 6}\)(cm);

(B) l (cm);

(C) \({5 \over 6}\) (cm);

(D) \({{11} \over 6}l\) (cm).

Hãy chọn kết quả đúng.

Thể tích hình nón là: V_1­ = \({1 \over 3}\pi {r^2}.h\)

V₁ = \({1 \over 3}\pi {\left( {{m \over 2}} \right)^2}.2l = {1 \over 3}\pi {{{m^2}} \over 4}.2l = {{\pi {m^2}l} \over 6}\)

Thể tích hình trụ là: V₂ = πr².  h

                                V₂  = πm². 2l = 2 πm²l

\({{{V_1}} \over {{V_2}}} = {{\pi {m^2}l} \over 6}:2\pi {m^2}l = {{\pi {m^2}l} \over 6}.{1 \over {2\pi {m^2}l}} = {1 \over {12}}\)

Vậy khi đổ đầy nước vào hình nón rồi đổ vào hình trụ độ cao nước \({1 \over {12}}.2l = {1 \over 6}l\)

Chọn (A) \({l \over 6}\)(cm).