Câu 21: Nếu chiều cao và bán kính đáy của một hình nón đều tăng lên và bằng \({5 \over 4}\) so với các kích thước tương ứng ban đầu thì trong các tỉ số sau đây, tỉ số nào là tỉ số giữa thể tích của hình nón mới với thể tích của hình nón ban đầu?
(A) \({5 \over 4};\)
(B) \({{15} \over {12}};\)
(C) \({{25} \over {16}};\)
(D) \({{125} \over {64}}.\)
Gọi bán kính đáy hình nón là r, độ dài đường cao là h.
Thể tích hình nón: V = \({1 \over 3}\pi {r^2}.h\)
Thể tích nón mới khi bán kính và chiều cao tăng:
\({V_1} = \pi {\left( {{5 \over 4}r} \right)^2}.{5 \over 4}h = \pi {r^2}.h.{\left( {{5 \over 4}} \right)^3}\)
\({{{V_1}} \over V} = {{{1 \over 3}\pi {r^2}h{{\left( {{5 \over 4}} \right)}^3}} \over {{1 \over 3}\pi {r^2}h}} = {\left( {{5 \over 4}} \right)^3} = {{125} \over {64}}\)
Chọn (D) \({{125} \over {64}}.\)
Câu 22: Từ một hình nón, người thợ tiện có thể tiện ra một hình trụ cao nhưng “ hẹp” hoặc một hình trụ rộng nhưng “ thấp”. Trong trường hợp nào thì người thợ tiện loại bỏ ít vật liệu hơn?
Advertisements (Quảng cáo)
Gọi bán kính đáy hình nón là R, chiều cao hình nón là h, bán kính đáy hình trụ là r, chiều cao phần hình nón cắt đi là BE = x
\(MN//AC \Rightarrow {{ME} \over {AD}} = {{BE} \over {BD}}\) hay \({r \over R} = {x \over h} \Rightarrow r = {{Rx} \over h}\))
Thể tích hình trụ: V = πr2. h
\(V = \pi .{\left( {{{Rx} \over h}} \right)^2}.\left( {h – x} \right) = \pi .{{{R^2}{x^2}} \over {{h^2}}}(h – x)\)
Phần bỏ đi của hình nón ít nhất có nghĩa là thể tích của hình trụ lớn nhất:
\(V = \pi .{{{R^2}{x^2}} \over {{h^2}}}(h – x) \Rightarrow 2V{h^2} = \pi {R^2}{x^2}(2h – 2x) \Rightarrow {{2V{h^2}} \over {\pi {R^2}}} = {x^2}(2h – 2x)\))
Advertisements (Quảng cáo)
Vì π, R, h là các hằng số nên thể tích hình trụ lớn nhất khi và chỉ khi x2(2h – 2x) lớn nhất. Ta có: x2(2h – 2x) = x. x.(2h – 2x)
Vì x + x + (2h – 2x) = 2h là một hằng số không đổi nên tích x. x (2h – 2x) đạt giá trị lớn nhất khi và chỉ khi ba số đó bằng nhau.
\( \Rightarrow \)x = 2h -2x \(\Leftrightarrow \) 3x = 2h \(\Rightarrow \) x = \({2 \over 3}h\)
Vậy khi phần cắt bỏ ở phía trên hìnhh nón có chiều cao bằng \({2 \over 3}\) chiều cao hình nón thì phần bỏ đi là ít nhất.
Câu 23: Hình 99 là một hình nón.
Chiều cao là h (cm), bán kính đường tròn đáy là r (cm) và độ dài đường sinh m (cm) thì thể tích hình nón này là:
(A) \(\pi {r^2}h(c{m^3});\)
(B) \({1 \over 3}\)\(\pi {r^2}h(c{m^3});\)
(C) πrm (cm3);
(D) πr(r + m) (cm3).
Hãy chọn kết quả đúng.
Chiều cao hình nón là h (cm), bán kính đường tròn đáy là r (cm), độ dài đường sinh là m (cm). Thể tích nón: V = \({1 \over 3}\pi {r^2}.h(c{m^3})\)
Chọn (B) \({1 \over 3}\)\(\pi {r^2}h(c{m^3})\).
