Bài IV.2, IV.3, IV.4, IV.5 trang 158, 159 SBT Toán 8 tập 2: Thể tích của một hình chóp tam giác đều thay đổi thế nào nếu ta tăng?

Câu IV.2: Một con kiến đang ở vị trí M là trung điểm cạnh A’D’ của một chiếc hộp hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ (h. bs.16). Con kiến muốn bò qua sáu mặt của chiếc hộp rồi quay trở về M. Tìm đường đi ngắn nhất của con kiến.

(hình bs.16 trang 158 sbt)

Trải 6 mặt của hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ như hình bs.18a. Để đi đường ngắn nhất từ M đến M’ (M’ chính là trung điểm của A’D’ trên mặt khai triển) thì con kiến cần bò theo đoạn thẳng MM’. Trên chiếc hộp, đường đi ngắn nhất của con kiến là đường MNPQKZM’ như ở hình bs.18b (dễ thấy N, P, Q, K, Z lần lượt là trung điểm của DD’, CD, BC, BB’, A’B’).

Câu IV.3: Thể tích của một hình chóp tam giác đều thay đổi thế nào nếu ta tăng

a. Gấp đôi chiều cao của hình chóp;

b. Gấp đôi cạnh đáy của hình chóp;

c. Gấp đôi cả chiều cao và cạnh đáy của hình chóp.

Tam giác đều cạnh a có diện tích bằng \({{{a^2}\sqrt 3 } \over 4}\). Do đó, hình chóp tam giác đều với cạnh đáy a, chiều cao h có thể tích :

\(V = {1 \over 3}.{{{a^2}\sqrt 3 } \over 4}.h = {{{a^2}h\sqrt 3 } \over {12}}\)

a. Nếu tăng gấp đôi chiều cao thì thể tích hình chóp là:

\(V’ = {1 \over 3}.{{{a^2}\sqrt 3 } \over 4}.2h = 2.{{{a^2}h\sqrt 3 } \over {12}} = 2V\)

b. Nếu tăng gấp đôi cạnh đáy thì thể tích hình chóp là:

\(V’ = {1 \over 3}.{{{{\left( {2a} \right)}^2}\sqrt 3 } \over 4}.h = 4.{{{a^2}h\sqrt 3 } \over {12}} = 4V\)

c. Nếu gấp đôi cả chiều cao và cạnh đáy thì thể tích hình chóp là:

\(V’ = {1 \over 3}.{{{{\left( {2a} \right)}^2}\sqrt 3 } \over 4}.2h = 8.{{{a^2}h\sqrt 3 } \over {12}} = 8V\)

Câu IV.4: Quan sát hình chóp tứ giác đều ở hình bs.17 rồi điền số thích hợp vào các ô trống trong bảng sau:

(hình bs.17 trang 159 sbt)

Câu IV.5: Cho hình chóp cụt đều có đáy là hình vuông, các cạnh đáy là a và b. Biết diện tích xung quanh bằng tổng diện tích hai đáy, tính chiều cao của hình chóp cụt đều.

(hình bs.19 trang 181 sbt)

Xét hình chóp cụt đều ABCD.A’B’C’D’ như hình bs.19.

Gọi M, M’ thứ tự là trung điểm của BC, B’C’. Khi đó MM’ là đường cao của hình thang cân BCC’B’.

Do đó diện tích xung quanh của hình chóp cụt đều là:

\({S_{xq}} = 4.{{a + b} \over 2}.MM’ = \left( {2a + 2b} \right).MM’\)

Từ giả thiết ta có:

\(\left( {2a + 2b} \right).MM’ = {a^2} + {b^2}$hay $MM’ = {{{a^2} + {b^2}} \over {2\left( {a + b} \right)}}\) (1)

Dễ thấy OM // O’M’ nên OM và O’M’ xác định mặt phẳng (OMM’O’). Trong mặt phẳng (OMM’O’), kẻ MH ⊥ O’M’. Khi đó: HM’ = O’M’ – O’H = \({{b – a} \over 2}\)

Trong tam giác vuông MHM’ ta có:

\(MM{‘^2} = M{H^2} + HM{‘^2} = {h^2} + {\left( {{{b – a} \over 2}} \right)^2}\)        (2)

Từ (1) và (2) suy ra :

\(\eqalign{  & {h^2} + {\left( {{{b – a} \over 2}} \right)^2} = {{{{\left( {{a^2} + {b^2}} \right)}^2}} \over {4{{\left( {a + b} \right)}^2}}}  \cr  &  \Rightarrow {h^2} = {{{{\left( {{a^2} + {b^2}} \right)}^2} – {{\left( {{b^2} – {a^2}} \right)}^2}} \over {4{{\left( {a + b} \right)}^2}}} = {{{a^2}{b^2}} \over {{{\left( {a + b} \right)}^2}}} \cr} \)

Vậy \(h = {{ab} \over {a + b}}\)