Câu 4.25: Chứng minh rằng số thực a < 0 chỉ có hai căn bậc hai phức là \( \pm i\sqrt {|a|} \)
Giả sử z là một căn bậc hai của a, ta có z2 = a. Vì a < 0 nên:
\(a = – |a| = – {(\sqrt {|a|} )^2}\)
Từ đó suy ra:
\({z^2} = – {(\sqrt {|a|} )^2}\)
\(\Rightarrow {z^2} + {(\sqrt {|a|} )^2} = 0\)
\(\Rightarrow (z + i\sqrt {|a|} )(z – i\sqrt {|a|} ) = 0\)
Vậy \(z = i\sqrt {|a|} \) hay \(z = – i\sqrt {|a|} \).
Câu 4.26: Giải các phương trình sau trên tập số phức:
a) 2x2 + 3x + 4 = 0
Advertisements (Quảng cáo)
b) 3x2 + 2x + 7 = 0
c) 2x4 + 3x2 – 5 = 0
a) \({x_{1,2}} = {{ – 3 \pm i\sqrt {23} } \over 4}\)
b) \({x_{1,2}} = {{ – 1 \pm 2i\sqrt 5 } \over 3}\)
c) \({x_{1,2}} = \pm 1;{x_{3,4}} = \pm i\sqrt {{5 \over 2}} \).
Advertisements (Quảng cáo)
Câu 4.27: Biết z1 và z2 là hai nghiệm của phương trình \(2{x^2} + \sqrt 3 x + 3 = 0\) . Hãy tính:
a) \(z_1^2 + z_2^2\) b) \(z_1^3 + z_2^3\)
c) \(z_1^4 + z_2^4\) d) \({{{z_1}} \over {{z_2}}} + {{{z_2}} \over {{z_1}}}\)
Ta có: \({z_1} + {z_2} = – {{\sqrt 3 } \over 2},{z_1}.{z_2} = {3 \over 2}\) . Từ đó suy ra:
a) \(z_1^2 + z_2^2 = {({z_1} + {z_2})^2} – 2{z_1}{z_2} = {3 \over 4} – 3 = – {9 \over 4}\)
b) \(z_1^3 + z_2^3 = ({z_1} + {z_2})(z_1^2 – {z_1}{z_2} + z_2^2)\)
\(= – {{\sqrt 3 } \over 2}( – {9 \over 4} – {3 \over 2}) = {{15\sqrt 3 } \over 8}\)
c) \(z_1^4 + z_2^4 = (z_1^2 + z_2^2) – 2z_1^2.z_2^2 = {( – {9 \over 4})^2} – 2.{({3 \over 2})^2} = {9 \over {16}}\)
d) \({{{z_1}} \over {{z_2}}} + {{{z_2}} \over {{z_1}}} = {{z_1^2 + z_2^2} \over {{z_1}.{z_2}}} = {{ – {9 \over 4}} \over {{3 \over 2}}} = – {3 \over 2}\).
Câu 4.28: Chứng minh rằng hai số phức liên hợp z và \(\bar z\) là hai nghiệm của một phương trình bậc hai với hệ số phức.
Nếu z = a + bi thì \(z + \bar z = 2a \in R;z.\bar z = {a^2} + {b^2} \in R\)
z và \(\bar z\) là hai nghiệm của phương trình \((x – z)(x – \bar z) = 0\)
\( \Leftrightarrow {x^2} – (z + \bar z)x + z.\bar z = 0 \Leftrightarrow {x^2} – 2ax + {a^2} + {b^2} = 0\)
