Câu 4.37: Giải các phương trình sau trên tập số phức:
a) \(3{x^2} + (3 + 2i\sqrt 2 )x – {{{{(1 + i)}^3}} \over {1 – i}} = i\sqrt 8 x\)
b) \({(1 – ix)^2} + (3 + 2i)x – 5 = 0\)
a) \(3{x^2} + 3x + 2 = 0\)
\(\Rightarrow {x_{1,2}} = {{ – 3 \pm i\sqrt {15} } \over 6}\)
b) \( – {x^2} + 3x – 4 = 0\)
\(\Rightarrow {x_{1,2}} = {{3 \pm i\sqrt 7 } \over 2}\)
Câu 4.38: Tìm số phức z, biết:
a) \(\bar z = {z^3}\) b) \(|z| + z = 3 + 4i\)
a) Ta có \(z\bar z = |z{|^2}\) nên từ \(\bar z = {z^3} \Rightarrow |z{|^2} = {z^4}\)
Advertisements (Quảng cáo)
Đặt z = a+ bi , suy ra:
\({a^4} + {b^4} – 6{a^2}{b^2} + 4ab({a^2} – {b^2})i = {a^2} + {b^2}\) (*)
Do đó, ta có: \(4ab({a^2} – {b^2}) = 0\) (**)
Từ (**) suy ra các trường hợp sau:
+) a = b = 0 ⟹ z = 0
+) \(a = 0,b \ne 0\) : Thay vào (*), ta có \({b^4} = {b^2} \Rightarrow b = \pm 1 \Rightarrow z = \pm i\)
+) \(b = 0,a \ne 0\) : Tương tự, ta có \(a = \pm 1 \Rightarrow z = \pm 1 \)
+) \(a \ne 0,b \ne 0 \Rightarrow {a^2} – {b^2} = 0 \Rightarrow {a^2} = {b^2}\) , thay vào (*) , ta có:
Advertisements (Quảng cáo)
2a2(2a2 + 1) = 0, không có a nào thỏa mãn (vì \(a \ne 0\) )
b) Đặt z = a + bi. Từ |z| + z = 3 + 4i suy ra
\(\sqrt {{a^2} + {b^2}} + a + bi = 3 + 4i \Rightarrow b = 4\) và \(\sqrt {{a^2} + 16} + a = 3\)
\( \Rightarrow {a^2} + 16 = {(3 – a)^2} = 9 – 6a + {a^2}\)
\(\Rightarrow 6a = – 7 \Rightarrow a = – {7 \over 6}\)
Vậy \(z = – {7 \over 6} + 4i\)
Câu 4.39: Tìm số phức z thỏa mãn hệ phương trình:
\(\left\{ {\matrix{{|z – 2i| = |z|} \cr {|z – i| = |z – 1|} \cr} } \right.\)
Đặt z = x + yi , ta được hệ phương trình:
\(\left\{ \matrix{
{x^2} + {(y – 2)^2} = {x^2} + {y^2} \hfill \cr
{x^2} + {(y – 1)^2} = {(x – 1)^2} + {y^2} \hfill \cr} \right.\)
\(\Rightarrow \left\{ {\matrix{{y = 1} \cr {x = y} \cr} } \right. \Rightarrow x = 1,y = 1\)
Vậy z = 1 + i.
Câu 4.40: Chứng tỏ rằng \({{z – 1} \over {z + 1}}\) là số thực khi và chỉ khi z là một số thực khác – 1.
Hiển nhiên nếu \(z \in R,z \ne – 1\) thì \({{z – 1} \over {z + 1}} \in R\)
Ngược lại, nếu \({{z – 1} \over {z + 1}} = a \in R\) thì \(z – 1 = az + a\) và \(a \ne 1\)
Suy ra \((1 – a)z = a + 1\Rightarrow z = {{a + 1} \over {1 – a}} \in R\) và hiển nhiên \(z \ne – 1\).
