Đề 1
ĐỀ 1 (45 phút)
Câu 1 (4 điểm) trang 67 sách bài tập (SBT) – Hình học 12
Cho hình nón (H) có chiều cao bằng h, đường kính tạo với mặt phẳng đáy một góc bằng 600.
a) Tính thể tích khối nón (H)
b) Tính thể tích khối cầu nội tiếp hình nón (H).
Hướng dẫn làm bài
a) Gọi S là đỉnh của hình nón (H), (H’) là hình cầu nội tiếp (H). Mặt phẳng (P) đi qua trục của hình nón (H) cắt (H) theo tam giác cân SAB và cắt hình cầu (H’) theo đường tròn tâm O nội tiếp tam giác SAB. Vì \(\widehat {SAB} = {60^0}\) nên tam giác SAB là tam giác đều. Từ đó suy ra bán kính đường tròn đáy của hình nón (H) bằng:
\(IA = SI.\cot {60^0} = h{{\sqrt 3 } \over 3};{V_{(H)}} = {1 \over 3}\pi {{{h^2}} \over 3}h = {{\pi {h^3}} \over 9}\)
b) Bán kính hình cầu (H’) bằng: \(OI = IA\tan {30^0} = {{h\sqrt 3 } \over 3}.{{\sqrt 3 } \over 3} = {h \over 3}\)
Suy ra: \({V_{(H’)}} = {4 \over 3}\pi {({h \over 3})^3} = {4 \over {81}}\pi {h^3}\)
Câu 2 (6 điểm) trang 67 sách bài tập (SBT) – Hình học 12
Cho tứ diện ABCD có \(AB \bot BC,DA \bot (ABC)\). Gọi M và N theo thứ tự là chân đường vuông góc kẻ từ A đến DB và DC. Biết AB = AD = 4a , BC = 3a.
a) Chứng minh rằng năm điểm A, B, C, M, N cùng nằm trên một mặt cầu (S). Tính thể tích mặt cầu đó.
b) Gọi (S’) là mặt cầu ngoại tiếp tứ diện ADMN. Chứng minh rằng (S) và (S’) giao nhau theo một đường tròn. Tìm bán kính của đường tròn đó.
Hướng dẫn làm bài
a) Ta có: \(\left\{ {\matrix{{BC \bot AB} \cr {BC \bot AD} \cr} } \right. \Rightarrow BC \bot (ABD)\Rightarrow BC \bot AM\)
\(\left\{ {\matrix{{AM \bot BC} \cr {AM \bot BD} \cr} } \right.\Rightarrow AM \bot (BCD) \Rightarrow AM \bot MC\)
Advertisements (Quảng cáo)
\(\widehat {ABC} = \widehat {AMC} = \widehat {ANC} = {90^0}\) \Rightarrow A, C, B, M, N nằm trên mặt cầu (S) đường kính \(AC = \sqrt {{{(4a)}^2} + {{(3a)}^2}} = 5a\)
b) \(\widehat {AMD} = \widehat {AND} = {90^0}\) => \Rightarrow A, D, M, N nằm trên mặt cầu (S’) đường kính AD.
(S) và(S’) có ba điểm chung là A, M, N.
Ta có: \(\left\{ {\matrix{{AM \bot BC} \cr {AM \bot MC} \cr} \Rightarrow AM \bot (BMC) \Rightarrow AM \bot MN} \right.\)
Từ đó suy ra \((S) \cap (S’)\) theo đường tròn đường kính AN với :
\(AN = {{AD.AC} \over {\sqrt {A{D^2} + A{C^2}} }} = {{4a.5a} \over {\sqrt {16{a^2} + 25{a^2}} }} = {{20a} \over {\sqrt {41} }}\)
Do đó bán kính đường tròn \((S) \cap (S’)\) bằng \({{10\sqrt {41} } \over {41}}a\).
Đề 2
ĐỀ 2 (45 phút)
Câu 1 (6 điểm): Cho hình trụ (H) có đáy là hai đường tròn tâm O và O’ , bán kính đáy R = OO’. Trên đáy tâm O lấy điểm A, trên đáy tâm O’ lấy điểm B sao cho AB = 2R. Tính tỉ số thể tích giữa khối tứ diện ABOO’ và khối trụ (H).
Hướng dẫn làm bài
Advertisements (Quảng cáo)
Gọi AA’, BB’ lần lượt là những đường sinh qua A, B của (H). Khi đó, tam giác ABB’ vuông tại B’. Suy ra: \(AB’ = \sqrt {A{B^2} – B'{B^2}} = R\sqrt 3 \) . Gọi I là trung điểm của AB’.
Khi đó \(OI \bot AB’\)
Do đó \(OI = \sqrt {OB{‘^2} – IB{‘^2}} = {R \over 2}\)
\( = > {S_{OAB’}} = {1 \over 2}R\sqrt 3 {R \over 2} = {{{R^2}\sqrt 3 } \over 4}\)
Suy ra: \({V_{ABOO’}} = {V_{B.AOO’}} = {V_{B.{\rm{AA}}’O’}} = {V_{A.A’BO’}} = {1 \over 3}{V_{OAB’.O’A’B}}\)
\(= {1 \over 3}{{{R^2}\sqrt 3 } \over 4}R = {{\sqrt 3 {R^3}} \over {12}}\);
\({V_{(H)}} = \pi {R^3}\)
Vậy \({{{V_{ABOO’}}} \over {{V_{(H)}}}} = {{\sqrt 3 } \over {12\pi }}\)
Câu 2 (4 điểm) : a) Cho hình hộp chữ nhật có ba kích thước là x, y, z. Tính thể tích hình cầu (S) ngoại tiếp hình hộp chữ nhật đó.
b) Trong số những hình hộp chữ nhật nội tiếp hình cầu (S) cho trước hình hộp nào có thể tích lớn nhất.
Hướng dẫn làm bài
a) Hình cầu đó có tâm là giao của các đường chéo của hình hộp chữ nhật, nên bán kính của (S) là \({1 \over 2}\sqrt {{x^2} + {y^2} + {z^2}} \) . Thế tích \({V_{(S)}} = {4 \over 3}\pi {({x^2} + {y^2} + {z^2})^{{3 \over 2}}}\)
b) Thể tích của hình hộp bằng V = xyz. Gọi R là bán kính hình cầu (S). Ta có: \(\root 3 \of {{x^2}{y^2}{z^2}} \le {{{x^2} + {y^2} + {z^2}} \over 3} = {{4{R^2}} \over 3}\)
Suy ra V lớn nhất <=> V2 = x2 y2 z2 lớn nhất
<=> x2 = y2 = z2 <=> x = y = z
Do đó trong số những hình hộp chữ nhật nội tiếp hình cầu (S) cho trước, hình lập phương là hình có thể tích lớn nhất.
Đề 3
ĐỀ 3 (45 phút)
Câu 1 (5 điểm): Cho ba điểm A, B, C nằm trên mặt cầu (S) tâm O, AB = 5a , AC = 4a , BC = 3a , khoảng cách từ O đến mặt phẳng (ABC) bằng 2a. Tính thể tích mặt cầu (S) theo a.
Hướng dẫn làm bài
Tam giác ABC có AB2 = AC2 + BC2 nên nó vuông tại C. Mặt phẳng (ABC) cắt (S) theo đường tròn đường kính AB. Gọi I là trung điểm của AB, khi đó OI = 2a.
Suy ra \(OB = \sqrt {{{({{5a} \over 2})}^2} + 4{a^2}} = {{\sqrt {41} } \over 2}a\)
Vậy \({V_{(S)}} = {4 \over 3}\pi {({{a\sqrt {41} } \over 2})^3} = {{41\sqrt {41} } \over 6}\pi {a^3}\)
Câu 2 (5 điểm): Cho hình trụ (H) có chiều cao bằng h, bán kính đường tròn đáy bằng R, O và O’ là tâm của hai đáy. Gọi AB là đường kính thuộc đường tròn đáy (O) , CD là đường kính thuộc đường tròn đáy (O’), góc giữa AB và CD bằng \(\alpha (0 < \alpha \le {90^0})\). Tính tỉ số thể tích giữa khối tứ diện ABCD và khối trụ (H). Xác định \(\alpha \) để tỉ số đó là lớn nhất.
Hướng dẫn làm bài
Thể tích khối trụ (H) là \({V_{(H)}} = \pi {R^2}h\) , thể tích khối tứ diện ABCD là:
\({V_{ABCD}} = {1 \over 6}AB.CD.\sin \alpha .h = {2 \over 3}{R^2}h\sin \alpha \)
Suy ra: \({{{V_{ABCD}}} \over {{V_{(H)}}}} = {{2\sin \alpha } \over {3\pi }} \le {2 \over {3\pi }}\)
Tỉ số đó là lớn nhất bằng \({2 \over {3\pi }}\) khi \(\alpha = {90^0}\)
