Trang Chủ Sách bài tập lớp 12 SBT Toán 12

Bài 1.8, 1.9, 1.10 trang 8,9 SBT Giải tích 12: Chứng minh rằng phương trình sau không thể có hai nghiệm thực trong đoạn [0; 1] ?

Bài 1 Sự đồng biến, nghịch biến của hàm số SBT Toán lớp 12. Giải bài 1.8, 1.9, 1.10 trang 8,9 Sách bài tập Giải tích 12. Chứng minh các bất đẳng thức sau…; Chứng minh rằng phương trình sau không thể có hai nghiệm thực trong đoạn [0; 1] ?

Bài 1.8: Chứng minh các bất đẳng thức sau:

a) \(\tan x > \sin x,0 < x < {\pi  \over 2}\)

b) \(1 + {1 \over 2}x – {{{x^2}} \over 8} < \sqrt {1 + x}  < 1 + {1 \over 2}x\) với \(0 < x <  + \infty \)

a) Xét hàm số \(f(x) = \tan x – \sin x\)  trên nửa khoảng \({\rm{[}}0;{\pi  \over 2})\) ;

 \(f'(x) = {1 \over {{{\cos }^2}x}} – \cos x = {{1 – {{\cos }^3}x} \over {{{\cos }^2}}} \ge 0;x \in {\rm{[}}0;{1 \over 2})\)

Dấu “=” xảy ra khi x = 0.

Suy ra f(x) đồng biến trên nửa khoảng \({\rm{[}}0;{\pi  \over 2})\)

Mặt khác, ta có f(0) = 0, nên f(x) = tan x – sin x > 0  hay tan x > sin x với mọi \(x \in {\rm{[}}0;{1 \over 2})\)

b) Xét hàm số \(h(x) = 1 + {1 \over 2}x – \sqrt {1 + x}\) trên $${\rm{[}}0; + \infty )$$

\(\eqalign{
& h'(x) = {1 \over 2} – {1 \over {2\sqrt {1 + x} }} \ge 0 \cr
& 1 + {1 \over 2}x – {{{x^2}} \over 8} < \sqrt {1 + x} ,0 \le x \le + \infty \cr} \)

Advertisements (Quảng cáo)

Dấu “=” xẩy ra chỉ tại x = 0 nên h(x) đồng biến trên nửa khoảng \({\rm{[}}0; + \infty )\).

Vì h(x) = 0 nên \(h(x) = 1 + {1 \over 2}x – \sqrt {1 + x}  > 0\)

Hay \(1 + {1 \over 2}x > \sqrt {1 + x} \) với \(0 \le x <  + \infty \)

Xét hàm số  trên \(f(x) = \sqrt {1 + x}  – 1 – {1 \over 2}x + {{{x^2}} \over 8}\) trên \({\rm{[}}0; + \infty )\) ;

\(\eqalign{
& g(x) = f'(x) = {1 \over {2\sqrt {1 + x} }} – {1 \over 2} + {x \over 4} \cr
& g'(x) = {1 \over 4} – {1 \over {4(1 + x)\sqrt {1 + x} }} \ge 0,0 \le x < + \infty \cr} \)

Vì g(0) = 0 và g(x) đồng biến trên nửa khoảng \({\rm{[}}0; + \infty )\) nên \(g(x) \ge 0\) , tức là \(f'(x) \ge 0\) trên khoảng đó và vì dấu “=” xảy ra chỉ tại x = 0 nên f(x) đồng biến trên nửa khoảng .

Advertisements (Quảng cáo)

Mặt khác, ta có f(0) = 0 nên

\(f(x) = \sqrt {1 + x}  – 1 – {1 \over 2}x + {{{x^2}} \over 8} > 0\)

hay \(1 + {1 \over 2}x – {{{x^2}} \over 8} < \sqrt {1 + x} \)

Với mọi \(0 < x <  + \infty \).

Bài 1.9: Chứng minh rằng phương trình \({x^3} – 3x + c = 0\) không thể có hai nghiệm thực trong đoạn [0; 1].

Đặt \(f(x) = {x^3} – 3x + C\) . TXĐ: R

\(f'(x) = 3{x^2} – 3 = 3({x^2} – 1)\)

\(f'(x) = 0 \Leftrightarrow \left[ \matrix{
x = 1 \hfill \cr
x = – 1 \hfill \cr} \right.\)

Bảng biến thiên:

     Trên đoạn [0; 1] hàm số f(x) nghịch biến nên đồ thị của hàm số f(x) không thể cắt trục hoành tại hai điểm trên đoạn này, tứclà phương trình x3 – 3x + C = 0 không thể có hai nghiệm thực trên đoạn [0; 1].

Bài 1.10: Xác định giá trị của b để hàm số f(x) = \(\sin x – bx + c\) nghịch biến trên toàn trục số.

\(f(x) = \sin x – bx + c\) nghịch biến trên R nếu ta có:

\(f'(x) = \cos x – b \le 0,\forall x \in R\)  .

Vì \(|\cos x| \le 1\) nên \(f'(x) \le 0,\forall x \in R <  =  > b \ge 1.\)

Advertisements (Quảng cáo)