Bài 1.14: Tìm cực trị của các hàm số sau:
a) \(y = \sin 2x\)
b) \(y = \cos x – \sin x\)
c) \(y = {\sin ^2}x\)
a) \(y = \sin 2x\)
Hàm số có chu kỳ \(T = \pi \)
Xét hàm số \(y = \sin 2x\) trên đoạn \({\rm{[}}0;\pi {\rm{]}}\) , ta có:
\(y’ = 2\cos 2x\)
\(y = 0 \Leftrightarrow \left[ \matrix{
x = {\pi \over 4} \hfill \cr
x = {{3\pi } \over 4} \hfill \cr} \right.\)
Bảng biến thiên:
Do đó trên đoạn \({\rm{[}}0;\pi {\rm{]}}\) , hàm số đạt cực đại tại \({\pi \over 4}\) , đạt cực tiểu tại \({{3\pi } \over 4}\) và \({y_{CD}} = y({\pi \over 4}) = 1;\,\,{y_{CT}} = y({{3\pi } \over 4}) = – 1\)
Vậy trên R ta có:
\({y_{CĐ}} = y({\pi \over 4} + k\pi ) = 1;\)
\({y_{CT}} = y({{3\pi } \over 4} + k\pi ) = – 1,k \in Z\)
b) Hàm số tuần hoàn chu kỳ nên ta xét trên đoạn \({\rm{[}} – \pi ;\pi {\rm{]}}\).
\(\eqalign{
& y’ = – \sin x – \cos x \cr
& y’ = 0 < => \tan x = – 1 < = > x = – {\pi \over 4} + k\pi ,k \in Z \cr} \)
Lập bảng biến thiên trên đoạn \({\rm{[}} – \pi ;\pi {\rm{]}}\)
Hàm số đạt cực đại tại \(x = – {\pi \over 4} + k2\pi \) , đạt cực tiểu tại \(x = {{3\pi } \over 4} + k2\pi (k \in Z)\) và
Advertisements (Quảng cáo)
\({y_{CĐ}} = y( – {\pi \over 4} + k2\pi ) = \sqrt 2\) ;
\({y_{CT}} = y({{3\pi } \over 4} + k2\pi ) = – \sqrt 2 (k \in Z)\)
c) Ta có: \(y = {\sin ^2}x = {{1 – \cos 2x} \over 2}\)
Do đó, hàm số đã cho tuần hoàn với chu kỳ \(\pi \). Ta xét hàm số \(y = {1 \over 2} – {1 \over 2}\cos 2x\) trên đoạn \({\rm{[}}0;\pi {\rm{]}}\) .
\(\eqalign{
& y’ = \sin 2x \cr
& y’ = 0 < = > \sin 2x = 0 < = > x = k.{\pi \over 2}(k \in Z) \cr} \)
Lập bảng biến thiên trên đoạn \(\left[ {0,\pi } \right]\)
Từ đó, ta thấy hàm số đạt cực tiểu tại \(x = k.{\pi \over 2}\) với k chẵn, đạt cực đại tại \(x = k.{\pi \over 2}\) với k lẻ, và
\({y_{CT}} = y(2m\pi ) = 0;\)
\({y_{CĐ}} = y((2m + 1){\pi \over 2}) = 1(m \in Z)\)
Bài 1.15: Xác định giá trị của m để hàm số sau có cực trị:
a) \(y = {x^3} – 3{x^2} + mx – 5\)
b) \(y = {x^3} + 2m{x^2} + mx – 1\)
Advertisements (Quảng cáo)
c) \(y = {{{x^2} – 2mx + 5} \over {x – m}}\)
a) TXĐ: D = R
\(y’ = 3{x^2} – 6x + m\)
Hàm số có cực trị khi và chỉ khi y’ đổi dấu trên R.
⇔ 3x2 – 6x + m có hai nghiệm phân biệt.
⇔ ∆’ = 9 – 3m > 0 ⇔ 3m < 9 ⇔ m < 3.
Vậy hàm số đã cho có cực trị khi m < 3.
b) TXĐ: D = R
y’ = 3x2 + 4mx + m
Hàm số có cực trị khi và chỉ khi y’ đổi dấu trên R.
⇔ 3x2 + 4mx + m có hai nghiệm phân biệt.
⇔ ∆’ = 4m2 -3m > 0 ó m(4m – 3) > 0
\( \Leftrightarrow \left[ \matrix{
m < 0 \hfill \cr
m > {3 \over 4} \hfill \cr} \right.\)
Vậy hàm số đã cho có cực đại, cực tiểu khi m < 0 hoặc \(m > {3 \over 4}\) .
c) TXĐ: D = R\{m}
\(y’ = {{{x^2} – 2mx + 2{m^2} – 5} \over {{{(x – m)}^2}}}\)
Hàm số có cực trị khi và chỉ khi y’ đổi dấu trên D
⇔ x2 – 2mx + 2m2 – 5 có hai nghiệm phân biệt.
⇔ ∆’ = – m2 + 5 > 0 ⇔ \( – \sqrt 5 < m < \sqrt 5 \)
Bài 1.16: Xác định giá trị của tham số m để hàm số y = x3 – 2x2 + mx + 1 đạt cực tiểu tại x = 1.
(Đề thi tốt nghiệp THPT năm 2011)
TXĐ: D = R
y’ = 3x2 – 4x + m ; y’ = 0 ⇔ 3x2 – 4x + m = 0
Phương trình trên có hai nghiệm phân biệt khi:
∆’ = 4 – 3m > 0 ⇔ \(m < {4 \over 3}\) (*)
Hàm số có cực trị tại x = 1 thì :
y’(1) = 3 – 4 + m = 0 => m = 1 (thỏa mãn điều kiện (*) )
Mặt khác, vì:
y’’ = 6x – 4 => y’’(1) = 6 – 4 = 2 > 0
cho nên tại x = 1, hàm số đạt cực tiểu.
Vậy với m = 1, hàm số đã cho đạt cực tiểu tại x = 1.
