Bài 1.34: Tìm m để hàm số
a) \(y = {x^3} + (m + 3){x^2} + mx – 2\) đạt cực tiểu tại x = 1
b) \(y = – {1 \over 3}({m^2} + 6m){x^3} – 2m{x^2} + 3x + 1\) đạt cực đại tại x = -1;
a) \(\eqalign{
& y’ = 3{x^2} + 2(m + 3)x + m \cr
& y’ = 0 \Leftrightarrow 3{x^2} + 2(m + 3)x + m = 0 \cr} \)
Hàm số đạt cực trị tại x = 1 thì:
\(y'(1) = 3 + 2(m + 3) + m = 3m + 9 = 0\Leftrightarrow m = – 3\)
Khi đó, \(\eqalign{
& y’ = 3{x^2} – 3 \cr
& y” = 6x;y”(1) = 6 > 0 \cr} \)
Suy ra hàm số đạt cực tiểu tại x = 1 khi m = 3
b) \(\eqalign{
& y’ = – ({m^2} + 6m){x^2} – 4mx + 3 \cr
& y'( – 1) = – {m^2} – 6m + 4m + 3 \cr & = ( – {m^2} – 2m – 1) + 4 = – {(m + 1)^2} + 4 \cr} \)
Hàm số đạt cực trị tại x = -1 thì :
\(\eqalign{
& y'( – 1) = – {(m + 1)^2} + 4 = 0 \Leftrightarrow {(m + 1)^2} = 4 \cr
& \Leftrightarrow \left[ \matrix{
m = 3 \hfill \cr
m = – 1 \hfill \cr} \right. \cr} \)
Với m = -3 ta có y’ = 9x2 + 12x + 3
\(\Rightarrow y’’ = 18x + 12\)
\(\Rightarrow y’’(-1) = -18 + 12 = -6 < 0\)
Suy ra hàm số đạt cực đại tại x = -1.
Advertisements (Quảng cáo)
Với m = 1 ta có:
\(y’ = – 7{x^2} – 4x + 3 \)
\(\Rightarrow y” = – 14x – 4\)
\(\Rightarrow y”( – 1) = 10 > 0\)
Suy ra hàm số đạt cực tiểu tại x = -1
Kết luận: Hàm số đã cho đạt cực đại tại x = -1 khi m = -3.
Bài 1.35: Tìm m để hàm số
a) \(y = {x^4} + ({m^2} – 4){x^2} + 5\) có 3 cực trị
b) \(y = (m – 1){x^4} – m{x^2} + 3\) có đúng một cực trị.
Advertisements (Quảng cáo)
a) Hàm số có 3 cực trị khi và chỉ khi y’ = 0 có 3 nghiệm phân biệt , tức là :
\(y’ = 4{x^3} + 2({m^2} – 4)x = 2x(2{x^2} + {m^2} – 4) = 0\) có 3 nghiệm phân biệt
\(\Leftrightarrow {x^2} + {m^2} – 4 = 0\) có 2 nghiệm phân biệt khác 0
\(\Leftrightarrow 4 – {m^2} > 0 \Leftrightarrow – 2 < m < 2\)
Vậy với – 2 < m < 2 hàm số có 3 cực trị.
b) \(y’ = 4(m – 1){x^3} – 2mx = 2x[2(m – 1){x^2} – m{\rm{]}}\)
Hàm số có đúng một cực trị khi y’ = 0 có đúng một nghiệm, tức là:
\(2x[2(m – 1){x^2} – m{\rm{] = 0}}\) chỉ có nghiệm x = 0
Muốn vậy, phải có m = 1 hoặc \({m \over {2(m – 1)}} \le 0 \Leftrightarrow 0 \le m \le 1\)
Vậy với \(0 \le m \le 1\) hàm số đã cho có một cực trị duy nhất.
Bài 1.36: Tìm m để hàm số: \(y = {1 \over 3}m{x^3} + m{x^2} + 2(m – 1)x – 2\) không có cực trị
Hàm số không có cực trị khi và chỉ khi phương trình:
\(y’ = m{x^2} + 2mx + 2(m – 1) = 0\) không có 2 nghiệm phân biệt.
Muốn vậy, phải có:
\(\eqalign{
& \Delta ‘ = {m^2} – 2m(m – 1) = – {m^2} + 2m \le 0 \cr
& \Leftrightarrow \left[ \matrix{
m \le 0 \hfill \cr
m \ge 2 \hfill \cr} \right. \cr} \)
Vậy với m ≤ 0 hoặc m ≥ 2 hàm số đã cho không có cực trị.
Bài 1.37: Chứng minh rằng hàm số: \(y = {x^3} – 3(m – 1){x^2} – 3(m + 3)x – 5\) luôn có cực trị với mọi giá trị của m ∈ R
\(\eqalign{
& y’ = 3{x^2} – 6(m – 1)x – 3(m + 3) \cr
& y’ = 0 \Leftrightarrow {x^2} – 2(m – 1)x – m – 3 = 0 \cr} \)
Hàm số cực trị khi và chỉ khi y’ = 0 có 2 nghiệm phân biệt.
\( \Leftrightarrow \Delta ‘ = {(m – 1)^2} + m + 3 = {m^2} – m + 4 \ge 0\)
Ta thấy tam thức \(\Delta ‘ = {m^2} – m + 4\) luôn dương với mọi \(m \in R\) vì \(\delta = 1 – 16 = – 15 < 0\) và a = 1 > 0.
Vậy hàm số đã cho luôn có cực trị với mọi giá trị.
