Bài 40: Xét các số phức: \({z_1} = \sqrt 6 – i\sqrt 2 ;\,\,{z_2} = – 2 – 2i;\,\,\,{z_3} = {{{z_1}} \over {{z_2}}}\)
a) Viết \({z_1};\,{z_2};\,{z_3}\) dưới dạng lượng giác;
b) Từ câu a) hãy tính \(\cos {{7\pi } \over {12}}\) và \(\sin {{7\pi } \over {12}}\).
Giải
\(\eqalign{ & a)\;\;z_1=\sqrt 2 \left( {\sqrt 3 – i} \right) \cr&= 2\sqrt 2 \left[ {\cos \left( { – {\pi \over 6}} \right) + i\sin \left( { – {\pi \over 6}} \right)} \right], \cr & {z_2} = 2\left( { – 1 – i} \right)\cr& = 2\sqrt 2 \left[ {\cos \left( { – {{3\pi } \over 4}} \right) + i\sin \left( { – {{3\pi } \over 4}} \right)} \right], \cr & {z_3} = {{{z_1}} \over {{z_2}}} = \cos \left( { – {\pi \over 6} + {{3\pi } \over 4}} \right) + i\sin \left( { – {\pi \over 6} + {{3\pi } \over 4}} \right)\cr& = \cos \left( {{{7\pi } \over {12}}} \right) + i\sin \left( {{{7\pi } \over {12}}} \right) \cr} \)
b) Mặt khác
\({{{z_1}} \over {{z_2}}} = {{\sqrt 6 – i\sqrt 2 } \over { – 2 – 2i}} = {{\left( {\sqrt 6 – i\sqrt 2 } \right)\left( { – 2 + 2i} \right)} \over 8}\)
\(= {{ – \sqrt 6 + \sqrt 2 } \over 4} + {{\sqrt 6 + \sqrt 2 } \over 4}i\) nên so sánh với kết quả câu a), suy ra:
\(\cos {{7\pi } \over {12}} = {{ – \sqrt 6 + \sqrt 2 } \over 4};\,\sin {{7\pi } \over {12}} = {{\sqrt 6 + \sqrt 2 } \over 4}\)
Bài 41: Cho \(z = \left( {\sqrt 6 + \sqrt 2 } \right) + i\left( {\sqrt 6 – \sqrt 2 } \right)\)
a) Viết \({z^2}\) dưới dạng đại số và dưới dạng lượng giác;
Advertisements (Quảng cáo)
b) Từ câu a), hãy suy ra dạng lượng giác của z.
Giải
\(\eqalign{ & a)\,{z^2} = {\left( {\sqrt 6 + \sqrt 2 } \right)^2} – {\left( {\sqrt 6 – \sqrt 2 } \right)^2} \cr&+ 2i\left( {\sqrt 6 + \sqrt 2 } \right)\left( {\sqrt 6 – \sqrt 2 } \right) \cr & = 4\sqrt {12} + 2i\left( {6 – 2} \right) = 8\sqrt 3 + 8i \cr&= 16\left( {\cos {\pi \over 6}+i\sin {\pi \over 6}} \right) \cr} \)
b) Theo ứng dụng 2 của công thức Moa – vrơ, để ý rằng phần thực và phần ảo của z đều dương, suy ra \(z = 4\left( {\cos {\pi \over {12}} + i\sin {\pi \over {12}}} \right)\)
Bài 42: a) Bằng cách biểu diễn hình học các số phức 2 + i và 3 + i, hãy chứng minh rằng nếu \(\tan a = {1 \over 2},\,\tan b = {1 \over 3}\)với \(a,b \in \left( {0;{\pi \over 2}} \right)\) thì \(a + b = {\pi \over 4}\).
b) Bằng cách biển diễn hình học các số phức 2 + i, 5+ i và 8 + i, hãy chứng minh rằng nếu \(\tan a = {1 \over 2},\,\tan b = {1 \over 5},\,\tan c = {1 \over 8}\) với \(a,b,c \in \left( {0;{\pi \over 2}} \right)\) thì \(a + b + c = {\pi \over 4}\).
Advertisements (Quảng cáo)
Giải
a) Biểu diễn hình học \(2 + i, 3 + i\) theo thứ tự bới M và N trong mặt phẳng phức
ta có: \(\tan \left( {Ox,\,OM} \right) = {1 \over 2} = \tan a\)
\(\tan \left( {Ox,\,ON} \right) = {1 \over 3} = \tan b\)
Xét \(z.z’ = (2 + i).(3 + i) = 5(1 + i) \)
\(= 5\sqrt 2 \left( {\cos {\pi \over 4} + i\sin {\pi \over 4}} \right)\)
Số \(zz’\) có acgumen là \({{\pi \over 4}}\), suy ra \(a + b = {\pi \over 4}\)
b)
\({z_1} = 2 + i\) có một acgumen là a với \(\tan a = {1 \over 2}\)
\({z_2} = 5 + i\) có một acgumen là b với \(\tan b = {1 \over 5}\)
\({z_3} = 8 + i\) có một acgumen là c với \(\tan c = {1 \over 8}\)
Xét \(z = {z_1}{z_2}{z_3} = \left( {2 + i} \right)\left( {5 + i} \right)\left( {8 + i} \right) = 65\left( {1 + i} \right)\)
\(\,\,\, = 65\sqrt 2 \left( {{{\sqrt 2 } \over 2} + i{{\sqrt 2 } \over 2}} \right) = 65\sqrt 2 \left( {\cos {\pi \over 4} + i\sin {\pi \over 4}} \right)\)
\(z\) có acgumen là \({\pi \over 4}\), suy ra \(a + b + c = {\pi \over 4}\)
