Bài 10: Chứng minh rằng với mọi số phức \(z \ne 1\), ta có: \(1 + z + {z^2} + … + {z^9} = {{{z^{10}} – 1} \over {z – 1}}\).
Giải
Ta có: \(\left( {1 + z + {z^2} + … + {z^9}} \right)\left( {z – 1} \right)\)
\(= z + {z^2} + … + {z^{10}} – \left( {1 + z + {z^2} + … + {z^9}} \right) \)
\(= {z^{10}} – 1\)
Vì \(z \ne 1\) nên chia hai vế cho \(z – 1\) ta được: \(1 + z + {z^2} + … + {z^9} = {{{z^{10}} – 1} \over {z – 1}}\)
Bài 11: Hỏi mỗi số sau đây là số thực hay số ảo (z là số phức tùy ý cho trước sao cho biểu thức xác định)?
\({z^2} + {\left( {\overline z } \right)^2}\); \({{z – \overline z } \over {{z^3} + {{\left( {\overline z } \right)}^3}}}\); \({{{z^2} – {{\left( {\overline z } \right)}^2}} \over {1 + z\overline z }}\)
Giải
* Ta có \(\overline {{z^2} + {{\left( {\overline z } \right)}^2}} = \overline {{z^2}} + \overline {{{\left( {\overline z } \right)}^2}} = {\left( {\overline z } \right)^2} + {\left( {\overline {\overline z } } \right)^2} = {\left( {\overline z } \right)^2} + {z^2}\)
\( \Rightarrow {z^2} + {\left( {\overline z } \right)^2}\) là số thực.
Advertisements (Quảng cáo)
Cách khác: Gọi \(z=a+bi\)
Ta có: \({z^2} + {\overline z ^2} = {\left( {a + bi} \right)^2} + {\left( {a – bi} \right)^2} = 2\left( {{a^2} – {b^2}} \right)\) là số thực
* \(\overline {\left( {{{z – \overline z } \over {{z^3} + {{\left( {\overline z } \right)}^3}}}} \right)} = {{\overline z – z} \over {{{\left( {\overline z } \right)}^3} + {z^3}}} = – {{z – \overline z } \over {{z^3} + {({\overline z })^3}}}\) \(\Rightarrow {{z – \overline z } \over {{z^3} + {({\overline z })^3}}}\) là số ảo.
* \(\overline {\left( {{{{z^2} – {{\left( {\overline z } \right)}^2}} \over {1 + z\overline z }}} \right)} = {{{({\overline z })^2} – {z^2}} \over {1 + \overline z z}} = – {{{z^2}-{({\overline z })^2}} \over {1 + \overline z .z}} \Rightarrow {{{z^2} – {{\left( {\overline z } \right)}^2}} \over {1 + z\overline z }}\) là số ảo.
Bài 12: Xác định tập hợp các điểm trong mặt phẳng phức biểu diễn các số phức \(z\) thỏa mãn từng điều kiện sau:
a) \(z^2\) là số thực âm;
b \(z^2\) là là số ảo;
Advertisements (Quảng cáo)
c) \({z^2} = {\left( {\overline z } \right)^2}\);
d) \({1 \over {z – i}}\) là số ảo.
Giải
Giả sử \(z=x+yi\)
a) \({z^2} = {\left( {x + yi} \right)^2} = {x^2} – {y^2} + 2xyi\)
\(z^2\) là số thực âm\( \Leftrightarrow \left\{ \matrix{ xy = 0 \hfill \cr {x^2} – {y^2} < 0 \hfill \cr} \right. \Leftrightarrow \left\{ \matrix{ x = 0 \hfill \cr y \ne 0 \hfill \cr} \right.\)
Vậy tập hợp các điểm cần tìm là trục \(Oy\) trừ điểm \(O\).
b) \({z^2} = {x^2} – {y^2} + 2xyi\)
\(z^2\) là số ảo \( \Leftrightarrow {x^2} – {y^2} = 0 \Leftrightarrow x = y\) hoặc \(y = -x\)
Vậy tập hợp các điểm cần tìm là hai đường phân giác của các gốc tọa độ.
c)
Ta có \({z^2} = {\left( {\overline z } \right)^2} \Leftrightarrow {x^2} – {y^2} + 2xyi ={x^2} – {y^2} – 2xyi\)
\(\Leftrightarrow xy = 0 \Leftrightarrow \left[ \matrix{ x = 0 \hfill \cr y = 0 \hfill \cr} \right.\)
Vậy tập hợp các điểm cần tìm là các trục tọa độ.
d) \({1 \over {z – i}}\) là số ảo \( \Leftrightarrow z – i\) là số ảo và \(z \ne i \Leftrightarrow z\) là số ảo khác i.
Vậy tập hợp các điểm cầm tìm là trục ảo trừ điểm \(I(0; 1)\) biểu diễn số \(i\).
