Bài 5: Cho \(z = – {1 \over 2} + {{\sqrt 3 } \over 2}i.\)
Hãy tính \({1 \over z}\); \(\overline z \); \({z^2}\); \({\left( {\overline z } \right)^3}\); \(1 + z + {z^2}\).
Giải
Ta có \(\left| z \right| = \sqrt {{{\left( { – {1 \over 2}} \right)}^2} + {{\left( {{{\sqrt 3 } \over 2}} \right)}^2}} = 1\)
Nên \({1 \over z} = {{\overline z } \over {{{\left| z \right|}^2}}} = \overline z = – {1 \over 2} – {{\sqrt 3 } \over 2}i\)
\({z^2} = {\left( { – {1 \over 2} + {{\sqrt 3 } \over 2}i} \right)^2} = {1 \over 4} – {{\sqrt 3 } \over 2}i – {3 \over 4} = – {1 \over 2} – {{\sqrt 3 } \over 2}i\)
\({\left( {\overline z } \right)^3} = \overline z .{\left( {\overline z } \right)^2} = \left( { – {1 \over 2} – {{\sqrt 3 } \over 2}i} \right).{\left( {{1 \over 2} + {{\sqrt 3 } \over 2}i} \right)^2}\)
\( = \left( { – {1 \over 2} – {{\sqrt 3 } \over 2}i} \right).\left( { – {1 \over 2} + {{\sqrt 3 } \over 2}i} \right) = {\left( { – {1 \over 2}} \right)^2} – {\left( {{{\sqrt 3 } \over 2}i} \right)^2}\)
\(= {1 \over 4} + {3 \over 4} = 1\)
\(1 + z + {z^2} = 1 + \left( { – {1 \over 2} + {{\sqrt 3 } \over 2}i} \right) + \left( { – {1 \over 2} – {{\sqrt 3 } \over 2}i} \right) = 0\)
Bài 6: Chứng minh rằng:
a) Phần thực của số phức z bằng \({1 \over 2}\left( {z + \overline z } \right)\), phần ảo của số phức z bằng \({1 \over {2i}}\left( {z – \overline z } \right);\)
b) Số phức z là số ảo khi và chỉ khi \(z = – \overline z ;\)
c) Với mọi số phức z, z’, ta có \(\overline {z + z’} = \overline z + \overline {z’} ,\,\overline {zz’} = \overline z .\,\overline {z’} \), và nếu \(z \ne 0\) thì \({{\overline {z’} } \over {\overline z }} = \overline {\left( {{{z’} \over z}} \right)} \).
a) Giả sử \(z=a+bi\;(a,b\in\mathbb R)\) thì \(\overline z = a – bi\)
Từ đó suy ra \(a = {1 \over 2}\left( {z + \overline z } \right);\,\,b = {1 \over {2i}}\left( {z – \overline z } \right)\)
b) z là số ảo khi và chỉ khi phần thực của z bằng 0
\(\Leftrightarrow {1 \over 2}\left( {z + \overline z } \right) = 0 \Leftrightarrow z = – \overline z \)
c) Giả sử \(z=a+bi;\; z’=a’+b’i\) \((a,b,a’,b’\in\mathbb R)\)
Advertisements (Quảng cáo)
Ta có:
\(\eqalign{
& \overline {z + z’} = \overline {(a + a’) + (b + b’)i} = a + a’ – (b + b’)i \cr
& \,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, = a – bi + a’ – b’i = \overline z + \overline {z’} \cr
& \overline {z.z’} = \overline {\left( {a + bi} \right).\left( {a’ + b’i} \right)} \cr&\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, = \overline {\left( {aa’ – bb’} \right) + \left( {ab’ + a’b} \right)i} \cr
& \,\,\,\,\,\,\,\,\,\, = aa’ – bb’ – \left( {ab’ + a’b} \right)i \cr
& \,\,\,\,\,\,\,\,\,\, = \left( {a – bi} \right)\left( {a’ – b’i} \right) = \overline z .\overline {z’} \cr
& \overline {\left( {{{z’} \over z}} \right)} = \overline {\left( {{{z’.\overline z } \over {z.\overline z }}} \right)} = {1 \over {z.\overline z }}.\overline {z’} .\overline {\overline z } = {1 \over {z.\overline z }}.\overline {z’} .z = {{\overline {z’} } \over {\overline z }} \cr} \)
Bài 7: Chứng minh rằng với mọi số nguyên \(m > 0\), ta có:
\({i^{4m}} = 1\); \({i^{4m + 1}} = i\); \({i^{4m + 2}} = – 1\); \({i^{4m + 3}} = – i\)
Giải
Vì \({i^4} = {\left( {{i^2}} \right)^2} = {\left( { – 1} \right)^2} = 1\) nên \({i^{4m}} = 1\) với mọi m nguyên dương.
Từ đó suy ra \({i^{4m + 1}} = {i^{4m}}.i = i\)
\({i^{4m + 2}} = {i^{4m}}.{i^2} = – 1\)
\({i^{4m + 3}} = {i^{4m}}.{i^3} = – i\)
Bài 8: Chứng minh rằng:
a)) Nếu vec tơ \(\overrightarrow u \) của mạt phẳng phức biểu diễn số phức z thì độ dài của vectơ \(\overrightarrow u \) là \(\left| {\overrightarrow u } \right| = \left| z \right|\), và từ đó nếu các điểm \({A_1},{A_2}\) theo thứ tự biểu diễn các số phức \({z_1},{z_2}\) thì \(\left| {\overrightarrow {{A_1}{A_2}} } \right| = |{z_2} – {z_1}|;\)
b) Với mọi số phức z, z’, ta có \(\left| {zz’} \right| = \left| z \right|\left| {z’} \right|\) và khi \(z \ne 0\) thì \(\left| {{{z’} \over z}} \right| = {{|z’|} \over {|z|}};\)
c) Với mọi số phức z, z’, ta có \(|z + z’| \le |z| + |z’|.\)
Advertisements (Quảng cáo)
a) Nếu \(z=a+bi\;(a,b\in\mathbb R)\) thì \(|z| = \sqrt {{a^2} + {b^2}} \)
\(\overrightarrow u \) biểu diễn số phức z thì \(\overrightarrow u = \left( {a;b} \right)\) và \(|\overrightarrow u | = \sqrt {{a^2} + {b^2}} \) do đó \(\left| {\overrightarrow u } \right| = \left| z \right|\).
Nếu \({A_1},{A_2}\) theo thứ tự biểu diễn các số phức \({z_1},{z_2}\) thì \(\overrightarrow {{A_1}{A_2}} = \overrightarrow {O{A_2}} – \overrightarrow {O{A_1}} \) biểu diễn \({z_2} – {z_1}\) nên \(\left| {\overrightarrow {{A_1}{A_2}} } \right| = |{z_2} – {z_1}|.\)
b) \(z=a+bi;\;z’=a’+b’i\) thì \(|z{|^2} = {a^2} + {b^2};|z'{|^2} = a{‘^2} + b{‘^2}\) và \(z.z’ = (aa’ – bb’) + (ab’ + a’b)i\) nên
\(\eqalign{
& |z.z'{|^2} = {(aa’ – bb’)^2} + {(ab’ + a’b)^2} \cr
& \,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, = {(aa’)^2} + {(bb’)^2} + {(ab’)^2} + {(a’b)^2} \cr
& \,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, = ({a^2} + {b^2})(a{‘^2} + b{‘^2}) = |z{|^2}.|z'{|^2} \cr
& \Rightarrow |zz’| = |z|.|z’| \cr} \)
Khi \(z \ne 0\) ta có:
\(\left| {{{z’} \over z}} \right| = \left| {{{z’\overline z } \over {|z{|^2}}}} \right| = {1 \over {|z{|^2}}}|z’.\overline z | \)
\(= {1 \over {|z{|^2}}}.\left| {z’} \right|.\left| {\overline z } \right| = {1 \over {|z{|^2}}}.|z’|.|z| = {{|z’|} \over {|z|}}\)
c) Giả sử \(\overrightarrow u \) biểu diễn z và \(\overrightarrow {u’} \) biểu diễn z’ thì \(\overrightarrow u+\overrightarrow {u’} \) biểu diễn z+z’. Ta có:
\(\left| {\overrightarrow u + \overrightarrow {u’} } \right| = \left| {z + z’} \right|;\,\left| {\overrightarrow u } \right| = \left| z \right|;\,\left| {\overrightarrow {u’} } \right| = \left| {z’} \right|\)
Mà \(\left| {\overrightarrow u + \overrightarrow v } \right| \le \left| {\overrightarrow u } \right| + \left| {\overrightarrow v } \right|\) nên \(\left| {z + z’} \right| \le \left| z \right| + \left| {z’} \right|\)
Dấu “=” xảy ra khi \(z=0\) hoặc \(z’=0\).
Bài 9: Xác định tập hợp câc điểm trong mặt phẳng phức biểu diễn các số phức \(z\) thỏa mãn từng điều kiện sau:
a) \(\left| {z – i} \right| = 1\) b) \(\left| {{{z – i} \over {z + i}}} \right| = 1\)
c) \(\left| z \right| = \left| {\overline z – 3 + 4i} \right|\)
Giải
a) Giả sử khi đó \(z – i = x + \left( {y – 1} \right)i\) và \(\left| {z – i} \right| = 1\)
\( \Leftrightarrow {x^2} + {\left( {y – 1} \right)^2} = 1\).
Tập hợp các điểm M biểu diễn số phức z là đường tròn tâm \(I\left( {0,1} \right)\) bán kính \(1\).
b) Giả sử
Ta có:\(\left| {{{z – i} \over {z + i}}} \right| = 1 \Leftrightarrow \left| {z – i} \right| = \left| {z + i} \right| \)
\(\Leftrightarrow \left| {x + \left( {y – 1} \right)i} \right| = \left| {x + \left( {y + 1} \right)i} \right|\)
\( \Leftrightarrow {x^2} + {\left( {y – 1} \right)^2} = {x^2} + {\left( {y + 1} \right)^2} \Leftrightarrow y = 0 \Leftrightarrow \) z là số thực.
Tập hợp M là trục thực \(Ox\).
c)
\(\left| z \right| = \left| {\overline z – 3 + 4i} \right| \Leftrightarrow \left| {x + yi} \right| = \left| {x – yi – 3 + 4i} \right|\)
\( \Leftrightarrow \left| {x + yi} \right| = \left| {\left( {x – 3} \right) + \left( {4 – y} \right)i} \right| \)
\(\Leftrightarrow {x^2} + {y^2} = {\left( {x – 3} \right)^2} + {\left( {4 – y} \right)^2}\)
\( \Leftrightarrow 6x + 8y = 25\)
Tập hợp M là đường thẳng có phương trình: \(6x + 8y = 25\)
