Bài 28: Xác định vị trí tương đối giữa các cặp đường thẳng d và d’ cho bởi phương trình:
a) \(d:{{x – 1} \over 2} = y – 7 = {{z – 3} \over 4}\,;\,d’:{{x – 3} \over 6} = {{y + 1} \over { – 2}} = {{z + 2} \over 1}\)
b)
\(d:\left\{ \matrix{
x = t \hfill \cr
y = – 3 – 4t \hfill \cr
z = – 3 – 3t \hfill \cr} \right.\)
d’ là giao tuyến của hai mặt phẳng \(\left( \alpha \right):x + y – z = 0,\,\,\left( {\alpha ‘} \right):2x – y + 2z = 0\).
a) Đường thẳng d đi qua M(1; 7; 3) và có vectơ chỉ phương \(\overrightarrow u = \left( {2;1;4} \right)\). Đường thẳng d’ đi qua \(M’\left( {3; – 1; – 2} \right)\) và có vectơ chỉ phương \(\overrightarrow u ‘ = \left( {6; – 2;1} \right)\).
Ta có \(\overrightarrow {MM’} = \left( {2; – 8; – 5} \right)\) và \(\left[ {\overrightarrow u ;\overrightarrow u ‘} \right] = \left( {9;22; – 10} \right)\)
\(\Rightarrow \left[ {\overrightarrow u ;\overrightarrow u ‘} \right].\overrightarrow {MM’} = – 108 \ne 0\).
Vậy d và d’ chéo nhau.
b) Đường thẳng d đi qua \(M\left( {0; – 3; – 3} \right)\) và có vectơ chỉ phương \(\overrightarrow u = \left( {1; – 4; – 3} \right)\)
Đường thẳng d’ có vectơ chỉ phương
d và d’ có cùng vectơ chỉ phương và \(M\left( {0; – 3; – 3} \right)\) không nằm trên d’ nên d và d’ song song.
Bài 29: Viết phương trình đường thẳng đi qua \(A\left( {1; – 1;1} \right)\) và cắt cả hai đường thẳng sau:
\(d:\left\{ \matrix{
x = 1 + 2t \hfill \cr
y = t \hfill \cr
z = 3 – t \hfill \cr} \right.\,\,;\,\,d’:\left\{ \matrix{
x = t \hfill \cr
y = – 1 – 2t \hfill \cr
z = 2 + t \hfill \cr} \right.\)
Lấy điểm \(M\left( {1 + 2t,t,3 – 1} \right)\) nằm trên d và điểm \(M’\left( {t’, – 1 – 2t’,2 + t’} \right)\) nằm trên d’.
Rõ ràng \(A \notin d\) và \(A \notin d’\). Ta tìm t và t’ sao cho A, M, M’ thẳng hàng, tức \(\overrightarrow {AM} \) và \(\overrightarrow {AM’} \) cùng phương.
Ta có \(\overrightarrow {AM} = \left( {2t,1 + t,2 – t} \right);\)
\(\overrightarrow {AM’} = \left( { – 1 + t’, – 2t’,1 + t’} \right)\). Do đó:
Advertisements (Quảng cáo)
Hai vectơ \(\overrightarrow {AM} \) và \(\overrightarrow {AM’} \) cùng phương khi và chỉ khi \(\left[ {\overrightarrow {AM} ,\overrightarrow {AM’} } \right] = \overrightarrow 0 \) hay:
\(\left\{ \matrix{
1 + t + 5t’ – tt’ = 0 \hfill \cr
– 2 – t + 2t’ – 3tt’ = 0 \hfill \cr
1 + t – t’ – 5tt’ = 0 \hfill \cr} \right.\)
Khử số hạng tt’ từ các phương trình trên, ta được hệ
\(\left\{ \matrix{
5 + 4t + 13t’ = 0 \hfill \cr
4 + 4t + 26t’ = 0 \hfill \cr} \right.\).
Suy ra \(t = – {3 \over 2};t’ = {1 \over {13}}\). Khi đó \(\overrightarrow {AM} = \left( { – 3; – {1 \over 2};{7 \over 2}} \right)\).
Gọi \(\Delta \) là đường thẳng đi qua A và M, \(\Delta \) có vectơ chỉ phương \(\overrightarrow u = 2\overrightarrow {AM} = \left( { – 6; – 1;7} \right)\) nên có phương trình tham số là:
\(\left\{ \matrix{
x = 1 – 6t \hfill \cr
y = – 1 – t \hfill \cr
z = 1 + 7t \hfill \cr} \right.\)
Bài 30: Viết phương trình đường thẳng song song với đường thẳng \({d_1}\) và cắt cả hai đường thẳng \({d_2}\) và \({d_3}\), biết phương trình của \({d_1},{d_2}\) và \({d_3}\) là:
\({d_1}:\left\{ \matrix{
x = 1 \hfill \cr
y = {- 2 + 4t} \hfill \cr
z ={ 1 – t} \hfill \cr} \right.\)
\( {d_2}:{{x – 1} \over 1} = {{y + 2} \over 4} = {{z – 2} \over 3}\)
\( {d_3}:\left\{ \matrix{
x ={ – 4 + 5t’} \hfill \cr
y = {- 7 + 9t’} \hfill \cr
z = {t’} \hfill \cr} \right.\)
Advertisements (Quảng cáo)
Đường thẳng \({d_1}\) có vectơ chỉ phương \({\overrightarrow u _1} = \left( {0;4; – 1} \right)\), \({d_2}\) có phương trình tham số là
\(\left\{ \matrix{
x = 1 + t \hfill \cr
y = – 2 + 4t \hfill \cr
z = 2 + 3t \hfill \cr} \right.\)
Lấy điểm \({M_2}\left( {1 + t; – 2 + 4t;2 + 3t} \right)\) trên \({d_2}\) và \({M_3}\left( { – 4 + 5t’; – 7 + 9t’;t’} \right)\) trên \({d_3}\). Ta tìm t và t’ để \(\overrightarrow {{M_2}{M_3}} \) cùng phương với \(\overrightarrow {{u_1}} \).
Ta có \(\overrightarrow {{M_2}{M_3}} = \left( { – 5 + 5t’ – t; – 5 + 9t’ – 4t; – 2 + t’ – 3t} \right)\), \(\overrightarrow {{M_2}{M_3}} \) cùng phương với \(\overrightarrow {{u_1}} \) khi và chỉ khi
\(\left\{ \matrix{
– 5 + 5t’ – t = 0 \hfill \cr
{{ – 5 + 9t’ – 4t} \over 4} = {{ – 2 + t’ – 3t} \over { – 1}} \hfill \cr} \right. \Leftrightarrow \left\{ \matrix{
t = 0 \hfill \cr
t’ = 1 \hfill \cr} \right.\)
Khi đó \({M_2}\left( {1; – 2;2} \right)\) và \(\overrightarrow {{M_2}{M_3}} = \left( {0;4; – 1} \right)\).
Vậy \(\Delta \) qua \({M_2},{M_3}\) có phương trình:
\(\left\{ \matrix{
x = 1 \hfill \cr
y = – 2 + 4t \hfill \cr
z = 2 – t \hfill \cr} \right.\).
Rõ ràng \({M_2} \notin {d_1}\). Vậy \(\Delta \) chính là đường thẳng cần tìm.
Bài 31: Cho hai đường thẳng
\({d_1}:\left\{ \matrix{
x = 8 + t \hfill \cr
y = 5 + 2t \hfill \cr
z = 8 – t \hfill \cr} \right.\) và \({d_2}:{{3 – x} \over 7} = {{y – 1} \over 2} = {{z – 1} \over 3}\).
a) Chứng tỏ rằng hai đường thẳng đó chéo nhau.
b) Viết phương trình mặt phẳng đi qua gốc tọa độ O và song song với \({d_1}\) và \({d_2}\).
c) Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng \({d_1}\) và \({d_2}\).
d) Viết phương trình đường vuông góc chung của hai đường thẳng đó.
a) Đường thẳng \({d_1}\) đi qua \({M_1}\left( {8;5;8} \right)\) có vectơ chỉ phương \(\overrightarrow {{u_1}} \left( {1;2; – 1} \right)\).
Đường thẳng \({d_2}\) đi qua \({M_2}\left( {3;1;1} \right)\) có vectơ chỉ phương \(\overrightarrow {{u_2}} \left( { – 7;2;3} \right)\).
Ta có: \(\overrightarrow {{M_2}{M_1}} = \left( {5;4;7} \right)\,\,;\,\,\left[ {\overrightarrow {{u_1}} ;\overrightarrow {{u_2}} } \right] = \left( {8;4;16} \right)\).
Do đó \(\left[ {\overrightarrow {{u_1}} ;\overrightarrow {{u_2}} } \right].\overrightarrow {{M_2}{M_1}} = 168 \ne 0\).
Vậy hai đường thẳng \({d_1}\) và \({d_2}\) chéo nhau.
b) Gọi \(\left( \alpha \right)\) là mặt phẳng qua O song song với cả \({d_1}\) và \({d_2}\). \(Mp\left( \alpha \right)\) có vectơ pháp tuyến là \(\overrightarrow n = {1 \over 4}\left[ {\overrightarrow {{u_1}} ;\overrightarrow {{u_2}} } \right] = \left( {2;1;4} \right)\).
Vậy \(\left( \alpha \right):2\left( {x – 0} \right) + 1\left( {y – 0} \right) + 4\left( {z – 0} \right) = 0 \)
\(\Leftrightarrow 2x + y + 4z = 0\).
Rõ ràng \({M_1},{M_2} \notin \left( \alpha \right)\). Vậy \(\left( \alpha \right)\) chính là mặt phẳng cần tìm.
c) Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau \({d_1}\) và \({d_2}\) là:
\(d = {{\left| {\left[ {\overrightarrow {{u_1}} ,\overrightarrow {{u_2}} } \right].\overrightarrow {{M_2}{M_1}} } \right|} \over {\left| {\left[ {\overrightarrow {{u_1}} ,\overrightarrow {{u_2}} } \right]} \right|}} = {{168} \over {\sqrt {{8^2} + {4^2} + {{16}^2}} }} = 2\sqrt {21} \)
d) Giả sử PQ là đường vuông góc chung của \({d_1}\) và \({d_2}\) với \(P \in {d_1}\,;\,Q \in {d_2}\). Khi đó ta có các giá trị t và t’ sao cho: \(P\left( {8 + t\,;5 + 2t\,;\,8 – t} \right),\)
\(Q\left( {3 – 7t’\,;\,1 + 2t’\,;\,1 + 3t’} \right)\).
Ta có: \(\overrightarrow {PQ} = \left( { – 5 – 7t’ – t; – 4 + 2t’ – 2t; – 7 + 3t’ + t} \right)\).
Vectơ \(\overrightarrow {PQ} \) đồng thời vuông góc với hai vectơ chỉ phương \(\overrightarrow {{u_1}} \) và \(\overrightarrow {{u_2}} \) nên
Vậy \(P\left( {7;3;9} \right)\,,\,Q\left( {3;1;1} \right)\) và do đó, đường vuông góc chung của \({d_1}\) và \({d_2}\) có phương trình:
\({{x – 3} \over {7 – 3}} = {{y – 1} \over {3 – 1}} = {{z – 1} \over {9 – 1}} \Leftrightarrow {{x – 3} \over 2} = {{y – 1} \over 1} = {{z – 1} \over 4}\)
