Bài 2.17: a) Một lớp có 50 học sinh. Tính số cách phân công 4 bạn quét sân trường và 5 bạn xén cây bằng hai phương pháp để rút ra đẳng thức
$$C_{50}^9.C_9^4 = C_{50}^4.C_{46}^5$$
b) Chứng minh công thức Niu-tơn
$$C_n^r.C_r^k = C_n^k.C_{n – k}^{r – k}.{\rm{ }}\left( {n \ge r \ge k \ge 0} \right)$$
c) Tìm chữ số ở hàng đơn vị của tổng
$$S = 0! + 2! + 4! + 6! + … + 100!$$
a) Cách thứ nhất: Chọn 9 bạn nam trong 50 bạnđể làm trực nhật. Có \(C_{50}^9\) cách.
Khi đã chọnđược 9 bạn rồi, chọn 4 trong 9 bạnđó để quét sân. Có \(C_9^4\) cách.
Advertisements (Quảng cáo)
Từ đó, theo quy tắc nhân, có \(C_{50}^9.C_9^4\) cách phân công.
Cách thứ hai: Chọn 4 trong 50 bạn để quét sân, sau đó chọn 5 trong 46 bạn còn lại để xén cây. Vậy có \(C_{50}^4.C_{46}^5\) cách phân công.
Từ đó ta có đẳng thức cần chứng minh.
b) Lập luận tương tự.
c) Ta có: \)0! = 1;{\rm{ }}2! = 2;{\rm{ }}4! = 1.2.3.4 = 24\)
Advertisements (Quảng cáo)
Các số hạng \(6!{\rm{ }};{\rm{ }}8!{\rm{ }};{\rm{ }}…{\rm{ ; 100!}}\) đều có tận cùnglà chữ số 0. Do đó chữ số ở hàng đơn vị của S là 1 + 2 + 4 = 7
Bài 2.18: Chứng minh rằng nếu n là số nguyên tố thì với r = 1,2,…,n – 1, ta có \(C_n^r\) chia hết cho n.
Có thể chứng minh dễ dàng đẳng thức sau
\(rC_n^r = nC_{n – 1}^{r – 1}\) \({\rm{}}\left( {r = 1,2,3,…,n – 1} \right)\)
Vì n là số nguyên tố và r < n, nên n là ước của \(C_n^r\)
Bài 2.19: Trong một đa giác đều bảy cạnh, kẻ các đường chéo. Hỏi có bao nhiêu giao điểm của các đường chéo, trừ các đỉnh?
Mỗi giao điểm của hai đường chéo ứng với một và chỉ một tập hợp gồm 4 điểm từ tập hợp 7 đỉnh của đa giác. Vậy có \(C_7^4 = 35\) giao điểm.
Bài 2.20: Tìm số các số nguyên dương gồm năm chữ số sao cho mỗi chữ số của số đó lớn hơn chữ số ở bên phải nó.
Có \(C_{10}^5\) cách chọn 5 chữ số khác nhau để lập số cần thiết. Nhưng khi đã có 5 chữ số khác nhau rồi, chỉ có một cách xếp 5 chữ số đó để tạo nên số cần thiết. Vậy có \(C_{10}^5 = 252\) số.
