Trang Chủ Sách bài tập lớp 11 SBT Toán 11

Bài 5, 6, 7, 8 trang 77 SBT Đại số và giải tích 11: Lấy ngẫu nhiên từ mỗi hộp một quả. Tính xác suất sao cho cả hai quả đều đỏ ?

Bài ôn tập chương II: Tổ hợp – xác suất SBT Toán lớp 11. Giải bài 5, 6, 7, 8 trang 77. Câu 5: Tính xác suất sao cho trong 13 con bài tú lơ khơ được chia ngẫu nhiên cho bạn Bình có 4 con pích, 3 con rô, 3 con cơ và 3 con nhép…; Lấy ngẫu nhiên từ mỗi hộp một quả. Tính xác suất sao cho cả hai quả đều đỏ ?

Bài 5: Tính xác suất sao cho trong 13 con bài tú lơ khơ được chia ngẫu nhiên cho bạn Bình có 4 con pích, 3 con , 3 con và 3 con nhép.

Số cách rút ra 13 con bài là \(C_{52}^{13}\). Như vậy \(n\left( \Omega  \right) = C_{52}^{13}\)

Kí hiệuA : “Trong 13 con bài có 4 con pích, 3 con rô, 3 con cơ và 3 con nhép”.

Ta có \(n\left( A \right) = C_{13}^4.C_9^3.C_6^3 = {{13!} \over {4!{{\left( {3!} \right)}^3}}}\)

Vậy \(P\left( A \right) = {{13!} \over {4!{{\left( {3!} \right)}^3}.C_{52}^{13}}} \approx 0,000002\)

Bài 6: Giả sử A và B là hai biến cố \({{P\left( {A \cup B} \right)} \over {P\left( A \right) + P\left( B \right)}} = a\). Chứng minh rằng

a) \({{P\left( {A \cap B} \right)} \over {P\left( A \right) + P\left( B \right)}} = 1 – a;\)

b) \({1 \over 2} \le a \le 1.\)

a)      Vì \(P\left( {A \cap B} \right) = P\left( A \right) + P\left( B \right) – P\left( {A \cup B} \right)\) nên

\({{P\left( {A \cap B} \right)} \over {P\left( A \right) + P\left( B \right)}} = {{P\left( A \right) + P\left( B \right) – P\left( {A \cup B} \right)} \over {P\left( A \right) + P\left( B \right)}} = 1 – a.\)

b)      Vì \(P\left( {A \cup B} \right) = P\left( A \right) + P\left( B \right) – P\left( {A \cap B} \right) \le P\left( A \right) + P\left( B \right)\)

Advertisements (Quảng cáo)

Nên \(a = {{P\left( {A \cup B} \right)} \over {P\left( A \right) + P\left( B \right)}} \le 1\,\,\,\,\left( 1 \right)\)

Mặt khác, \(2P\left( {A \cup B} \right) = P\left( {A \cup B} \right) + P\left( {A \cup B} \right) \ge P\left( A \right) + P\left( B \right)\)

Vậy \(a = {{P\left( {A \cup B} \right)} \over {P\left( A \right) + P\left( B \right)}} \ge {1 \over 2}\)

Kết hợp với (1), ta có \({1 \over 2} \le a \le 1\)

Bài 7: Hai hộp chứa các quả cầu. Hộp thứ nhất chứa 3 quả đỏ và 2 quả xanh, hộp thứ hai chứa 4 quả đỏ và 6 quả xanh. Lấy ngẫu nhiên từ mỗi hộp một quả. Tính xác suất sao cho

a)      Cả hai quả đều đỏ ;

b)      Hai quả cùng màu ;

c)      Hai quả khác màu.

Advertisements (Quảng cáo)

Kí hiệu A: “Quả lấy từ hộp thứ nhất màuđỏ” ;

             B: “Quả lấy từ hộp thứ hai màuđỏ”.

Ta thấy A và B độc lập.

a)      Cần tính \(P\left( {A \cap B} \right)\).

Ta có: \(P\left( {A \cap B} \right) = P\left( A \right)P\left( B \right) = {3 \over 5}.{4 \over {10}} = 0,24\)

b)      Cần tính xác suất của \(C = \left( {A \cap B} \right) \cup \left( {\overline A  \cap \overline B } \right)\)

Do tính xung khắc và độc lập của các biến cố, ta có

\(\eqalign{
& P\left( C \right) = P\left( A \right)P\left( B \right) + P\left( {\overline A } \right)P\left( {\overline B } \right) \cr
& {\rm{ }} = {3 \over 5}.{4 \over {10}} + {2 \over 5}.{6 \over {10}} = 0,48. \cr}\)

c)      Cần tính \(P\left( {\overline C } \right)\). Ta có \(P\left( {\overline C } \right) = 1 – P\left( C \right) = 1 – 0,48 = 0,52\)

Bài 8: Cho 5 đoạn thẳng với các độ dài 3, 5, 7, 9, 11 Chọn ngẫu nhiên ra ba đoạn thẳng.

a)      Mô tả không gian mẫu.

b)      Xác định biến cố A: “Ba đoạn thẳng chọn ra tạo thành một tam giác” và tính xác suất của A.

a) Ω gồm \(C_5^3 = 10\) bộ ba đoạn thẳng khác nhau trong số năm đoạn thẳng đã cho.

\(\Omega = \left\{ \matrix{
\left( {3,5,7} \right);\left( {3,7,9} \right);\left( {3,9,11} \right);\left( {5,7,9} \right);\left( {5,7,11} \right); \hfill \cr
\left( {3,5,9} \right);\left( {3,5,11} \right);\left( {3,7,11} \right);\left( {5,9,11} \right);\left( {7,9,11} \right) \hfill \cr} \right\}\)

b)      A gồm các bộ có tổng của hai số lớn hơn số còn lại.

\(A = \left\{ \matrix{
\left( {3,5,7} \right);\left( {3,7,9} \right);\left( {3,9,11} \right); \hfill \cr
\left( {5,7,9} \right);\left( {5,7,11} \right);\left( {5,9,11} \right);\left( {7,9,11} \right) \hfill \cr} \right\}\)

Ta có \(n\left( A \right) = 7\)

Vậy \(P\left( A \right) = {{n\left( A \right)} \over {n\left( \Omega  \right)}} = {7 \over {10}} = 0,7\)

Advertisements (Quảng cáo)