Trang Chủ Sách bài tập lớp 11 SBT Toán 11 Bài 2.13, 2.14, 2.15, 2.16 trang 67 SBT Đại số và giải...

Bài 2.13, 2.14, 2.15, 2.16 trang 67 SBT Đại số và giải tích 11:  Có bao nhiêu tập con của tập hợp gồm 4 điểm phân biệt ?

CHIA SẺ
Bài 2 Hoán vị – chỉnh hợp – tổ hợp SBT Toán lớp 11. Giải bài 2.13, 2.14, 2.15, 2.16 trang 67. Câu 2.13: Có bao nhiêu tập con của tập hợp gồm 4 điểm phân biệt ?; Có bao nhiêu cách xếp chỗ cho 4 bạn nữ và 6 bạn nam ngồi vào 10 ghế mà không có hai bạn nữ nào ngồi cạnh nhau, nếu ghế sắp thành hàng ngang ?

Bài 2.13: Có bao nhiêu tập con của tập hợp gồm 4 điểm phân biệt ?

Số tập con của tập hợp gồm 4 điểm là

\(C_4^0 + C_4^1 + C_4^2 + C_4^3 + C_4^4 = 16.\)

Bài 2.14: Có bao nhiêu cách xếp chỗ cho 4 bạn nữ và 6 bạn nam ngồi vào 10 ghế mà không có hai bạn nữ nào ngồi cạnh nhau, nếu

a)      Ghế sắp thành hàng ngang ?

b)      Ghế sắp quanh một bàn tròn ?

a)      Xếp 6 nam vào 6 ghế cạnh nhau. Có 6! cách.

Giữa các bạn nam có 5 khoảng trống cùng hai đầu dãy, nên có 7 chỗ có thể đặt ghế cho nữ.

Bây giờ chọn 4 trong 7 vị trí để đặt ghế. Có \(C_7^4\) cách.

Xếp nữ vào 4 ghế đó. Có 4! cách.

Vậy có \(6!.C_7^4.4! = 120.7!\) cách xếp mà không có hai bạn nữ nào ngồi cạnh nhau.

b)      Xếp 6 ghế quanh bàn tròn rồi xếp nam vào ngồi. Có 5! cách.

Giữa hai nam có khoảng trống. Xếp 4 nữ vào 4 trong 6 khoảng trống đó. Có \(A_6^4\) cách.

- Quảng cáo -

Theo quy tắc nhân, có \(5!.A_6^4 = 43200\) cách.

Bài 2.15: Chứng minh rằng với \(1 \le k \le n,\)

\(C_{n + 1}^{k + 1} = C_n^k + C_{n – 1}^k + … + C_{k + 1}^k + C_k^k\)

\(\eqalign{
& C_{n + 1}^{k + 1} = C_n^k + C_n^{k + 1} \cr
& C_n^{k + 1} = C_{n – 1}^k + C_{n – 1}^{k + 1} \cr
& … \cr
& C_{k + 2}^{k + 1} = C_{k + 1}^k + C_{k + 1}^{k + 1} \cr} \)     

Từ đó

\(\eqalign{
& C_{n + 1}^{k + 1} = C_n^k + C_{n – 1}^k + … + C_{k + 1}^k + C_{k + 1}^{k + 1} \cr
& C_{n + 1}^{k + 1} = C_n^k + C_{n – 1}^k + … + C_{k + 1}^k + C_k^k. \cr} \)

Bài 2.16: Sử dụng đồng nhất thức \({k^2} = C_k^1 + 2C_k^2\) để chứng minh rằng

\({1^2} + {2^2} + … + {n^2} = \sum\limits_{k = 1}^n {C_k^1}  + 2\sum\limits_{K = 2}^N {C_k^2 = {{n\left( {n + 1} \right)\left( {2n + 1} \right)} \over 6}}\)

Ta có: \(A = \sum\limits_{k = 1}^n {{k^2}}  = \sum\limits_{k = 1}^n {C_k^1}  + 2\sum\limits_{K = 2}^N {C_k^2.} \)

Kết hợp với \(C_{n + 1}^{k + 1} = C_n^k + C_{n – 1}^k + … + C_{k + 1}^k + C_k^k\), ta được

\(A = C_{n + 1}^2 + 2C_{n + 1}^3 = {{n\left( {n + 1} \right)} \over 2} + {{\left( {n – 1} \right)n\left( {n + 1} \right)} \over 3}\)

\(= {{n\left( {n + 1} \right)\left( {2n + 1} \right)} \over 6}\)