Bài 2.13: Có bao nhiêu tập con của tập hợp gồm 4 điểm phân biệt ?
Số tập con của tập hợp gồm 4 điểm là
\(C_4^0 + C_4^1 + C_4^2 + C_4^3 + C_4^4 = 16.\)
Bài 2.14: Có bao nhiêu cách xếp chỗ cho 4 bạn nữ và 6 bạn nam ngồi vào 10 ghế mà không có hai bạn nữ nào ngồi cạnh nhau, nếu
a) Ghế sắp thành hàng ngang ?
b) Ghế sắp quanh một bàn tròn ?
a) Xếp 6 nam vào 6 ghế cạnh nhau. Có 6! cách.
Giữa các bạn nam có 5 khoảng trống cùng hai đầu dãy, nên có 7 chỗ có thể đặt ghế cho nữ.
Advertisements (Quảng cáo)
Bây giờ chọn 4 trong 7 vị trí để đặt ghế. Có \(C_7^4\) cách.
Xếp nữ vào 4 ghế đó. Có 4! cách.
Vậy có \(6!.C_7^4.4! = 120.7!\) cách xếp mà không có hai bạn nữ nào ngồi cạnh nhau.
b) Xếp 6 ghế quanh bàn tròn rồi xếp nam vào ngồi. Có 5! cách.
Giữa hai nam có khoảng trống. Xếp 4 nữ vào 4 trong 6 khoảng trống đó. Có \(A_6^4\) cách.
Advertisements (Quảng cáo)
Theo quy tắc nhân, có \(5!.A_6^4 = 43200\) cách.
Bài 2.15: Chứng minh rằng với \(1 \le k \le n,\)
\(C_{n + 1}^{k + 1} = C_n^k + C_{n – 1}^k + … + C_{k + 1}^k + C_k^k\)
\(\eqalign{
& C_{n + 1}^{k + 1} = C_n^k + C_n^{k + 1} \cr
& C_n^{k + 1} = C_{n – 1}^k + C_{n – 1}^{k + 1} \cr
& … \cr
& C_{k + 2}^{k + 1} = C_{k + 1}^k + C_{k + 1}^{k + 1} \cr} \)
Từ đó
\(\eqalign{
& C_{n + 1}^{k + 1} = C_n^k + C_{n – 1}^k + … + C_{k + 1}^k + C_{k + 1}^{k + 1} \cr
& C_{n + 1}^{k + 1} = C_n^k + C_{n – 1}^k + … + C_{k + 1}^k + C_k^k. \cr} \)
Bài 2.16: Sử dụng đồng nhất thức \({k^2} = C_k^1 + 2C_k^2\) để chứng minh rằng
\({1^2} + {2^2} + … + {n^2} = \sum\limits_{k = 1}^n {C_k^1} + 2\sum\limits_{K = 2}^N {C_k^2 = {{n\left( {n + 1} \right)\left( {2n + 1} \right)} \over 6}}\)
Ta có: \(A = \sum\limits_{k = 1}^n {{k^2}} = \sum\limits_{k = 1}^n {C_k^1} + 2\sum\limits_{K = 2}^N {C_k^2.} \)
Kết hợp với \(C_{n + 1}^{k + 1} = C_n^k + C_{n – 1}^k + … + C_{k + 1}^k + C_k^k\), ta được
\(A = C_{n + 1}^2 + 2C_{n + 1}^3 = {{n\left( {n + 1} \right)} \over 2} + {{\left( {n – 1} \right)n\left( {n + 1} \right)} \over 3}\)
\(= {{n\left( {n + 1} \right)\left( {2n + 1} \right)} \over 6}\)
