Bài 3.5: Cho M(1;2). Hãy lập phương trình của đường thẳng đi qua M và chắn trên hai trục tọa độ hai đoạn có độ dài bằng nhau.
Trường hợp 1: \(a \ne 0\) và \(b \ne 0\)
Phương trình \(\Delta \) có dạng: \({x \over a} + {y \over b} = 1.\)
Ta có: \(\left| a \right| = \left| b \right|\)
(+) b = a
\(\Delta \) có dạng: \({x \over a} + {y \over a} = 1.\)
\(M \in \Delta \Leftrightarrow {1 \over a} + {2 \over a} = 1 \Leftrightarrow a = 3\)
Vậy: \(\Delta :{x \over 3} + {y \over 3} = 1 \Leftrightarrow x + y – 3 = 0.\)
(+) b = -a
\(\Delta \) có dạng: \({x \over a} + {y \over { – a}} = 1.\)
\(M \in \Delta \Leftrightarrow {1 \over a} + {2 \over { – a}} = 1 \Leftrightarrow a = – 1\)
Vậy: \(\Delta :{x \over { – 1}} + {y \over 1} = 1 \Leftrightarrow x – y + 1 = 0.\)
Trường hợp 2: b = a = 0
\(\Delta \) đi qua M và O nên có phương trình 2x – y = 0
Advertisements (Quảng cáo)
Bài 3.6: Cho tam giác ABC, biết phương trình đường thẳng AB:x – 3y + 11 = 0, đường cao AH = 3x + 7y – 15 = 0, đường cao BH:3x – 5y + 13 = 0. Tìm phương trình hai đường thẳng chứa hai cạnh còn lại của tam giác.
Theo đề bài tọa độ điểm A luôn thỏa mãn hệ phương trình:
\(\left\{ \matrix{
x – 3y = – 11 \hfill \cr
3x + 7y = 15 \hfill \cr} \right. \Leftrightarrow \left\{ \matrix{
x = – 2 \hfill \cr
y = 3. \hfill \cr} \right.\)
Vì \(AC \bot BH\) nên C có dạng: 5x + 3y + c = 0, ta có:
\(A \in AC \Leftrightarrow – 10 + 9 + c = 0 \Leftrightarrow c = 1.\)
Vậy phương trình đường thẳng chứa cạnh AC: 5x + 3y + 1 = 0.
Tọa độ của điểm B luôn thỏa mãn hệ phương trình:
\(\left\{ \matrix{
x – 3y = – 11 \hfill \cr
3x – 5y = – 13 \hfill \cr} \right. \Leftrightarrow \left\{ \matrix{
x = 4 \hfill \cr
y = 5. \hfill \cr} \right.\)
Advertisements (Quảng cáo)
Vì \(BC \bot AH\) nên BC có dạng: \(7x – 3y + c = 0\), ta có:
\(B \in BC \Leftrightarrow 28 – 15 + c = 0 \Leftrightarrow c = – 13.\)
Vậy phương trình đường thẳng chứa cạnh BC: 7x – 3y – 13 = 0.
Bài 3.7: Cho tam giác ABC có A(-2;3) và hai đường trung tuyến: 2x – y + 1 = 0 và x + y – 4 = 0. Hãy viết phương trình ba đường thẳng chứa ba cạnh của tam giác.
Hai đường trung tuyến đã cho đều không phải là đường trung tuyến xuất phát từ A vì tọa độ A không thỏa mãn các phương trình của chúng. Đặt BM: 2x – y + 1 = 0 và CN: x + y – 4 = 0 là hai trung tuyến của tam giác ABC.
Đặt B(x;y), ta có \(N\left( {{{x – 2} \over 2};{{y + 3} \over 2}} \right)\) và
\(\left\{ \matrix{
B \in BM \hfill \cr
N \in CN \hfill \cr} \right. \Leftrightarrow \left\{ \matrix{
2x – y + 1 = 0 \hfill \cr
{{x – 2} \over 2} + {{y + 3} \over 2} – 4 = 0 \hfill \cr} \right.\)
\(\Leftrightarrow \left\{ \matrix{
2x – y = – 1 \hfill \cr
x + y = 7 \hfill \cr} \right.\)
\( \Leftrightarrow \left\{ \matrix{
x = 2 \hfill \cr
y = 5 \hfill \cr} \right.\)
Vậy phương trình đường thẳng chứa cạnh AB là : 2x – 4y + 16 = 0
\( \Leftrightarrow x – 2y + 8 = 0\)
Tương tự ta có phương trình đường thẳng chứa cạnh AC là : 2x + 5y – 11 = 0
Phương trình đường thẳng chứa cạnh BC là : 4x + y – 13 = 0
Bài 3.8: Với giá trị nào của tham số m thì hai đường thẳng sau đây vuông góc:
\({\Delta _1}:mx + y + q = 0\) và \({\Delta _2}:x – y + m = 0\)
\({\Delta _1}\) và \({\Delta _2}\) có vectơ pháp tuyến lần lượt là \({\overrightarrow n _1} = (m;1)\)
\(\overrightarrow {{n_2}} = (1; – 1)\)
Ta có: \({\Delta _1} \bot {\Delta _2} \Leftrightarrow \overrightarrow {{n_1}} .\overrightarrow {{n_2}} = 0\)
\( \Leftrightarrow m – 1 = 0\)
\( \Leftrightarrow m = 1.\)
