Trang Chủ Sách bài tập lớp 10 SBT Toán 10

Bài 3.43, 3.44, 3.45 trang 161 SBT Toán Hình học 10: Cho elip (E): x^2 + 4y^2 = 16. Xác định tọa độ các tiêu điểm và các đỉnh của elip (E)

CHIA SẺ

Bài ôn tập chương III phần hình học Sách bài tập Toán Hình học 10. Giải bài 3.43, 3.44, 3.45 trang 161 Sách bài tập Toán Hình học 10. Câu 3.43: Lập phương trình chính tắc của elip (E) trong mỗi trường hợp sau…

Bài 3.43: Lập phương trình chính tắc của elip (E) trong mỗi trường hợp sau:

a) Một đỉnh là (0;-2) và một tiêu điểm là (-1;0) ;

b) Tiêu cự bằng 6, tỉ số \({c \over a}\) bằng \({3 \over 5}\).

a) \((E):{{{x^2}} \over 5} + {{{y^2}} \over 4} = 1\);

b) \((E):{{{x^2}} \over {25}} + {{{y^2}} \over {16}} = 1.\)

Bài 3.44: Cho elip (E) : \({{{x^2}} \over {25}} + {{{y^2}} \over 9} = 1\) và đường thẳng  \(\Delta \) thay đổi có phương trình tổng quát Ax + By + C = 0 luôn thỏa mãn \(25{A^2} + 9{B^2} = {C^2}\). Tính tích khoảng cách từ hai tiêu điểm  \({F_1}\), \({F_2}\) của (E) đến đường thẳng \(\Delta \)

\((E):{{{x^2}} \over {25}} + {{{y^2}} \over 9} = 1\)

Ta có: \({a^2} = 25,{b^2} = 9 \Rightarrow {c^2} = {a^2} – {b^2} = 16\)

\( \Rightarrow c = 4.\)

Vậy (E) có hai tiêu điểm là \({F_1}\left( { – 4;0} \right)\) và \({F_2}\left( {4;0} \right)\). Ta có :

\({d_1} = d({F_1},\Delta ) = {{\left| { – 4A + C} \right|} \over {\sqrt {{A^2} + {B^2}} }}\)

\({d_2} = d({F_2},\Delta ) = {{\left| {4A + C} \right|} \over {\sqrt {{A^2} + {B^2}} }}\)

Suy ra:

\({d_1}{d_2} = {{\left| {{C^2} – 16{A^2}} \right|} \over {{A^2} + {B^2}}}.\,\,\,(1)\)

Thay \({C^2} = 25{A^2} + 9{B^2}\) vào (1) ta được :

\(\eqalign{
& {d_1}{d_2} = {{\left| {25{A^2} + 9{B^2} – 16{A^2}} \right|} \over {{A^2} + {B^2}}} \cr
& = {{9({A^2} + {B^2})} \over {{A^2} + {B^2}}} \cr} \)

Vậy \({d_1}{d_2} = 9.\)

Bài 3.45: Cho elip (E): \({x^2} + 4{y^2} = 16\).

a) Xác định tọa độ các tiêu điểm và các đỉnh của elip (E).

b) Viết phương trình đường thẳng \(\Delta \) đi qua điểm \(M\left( {1;{1 \over 2}} \right)\) và vectơ pháp tuyến \(\overrightarrow n  = (1;2)\)

c) Tìm tọa độ giao điểm A và B của đường thẳng \(\Delta \) và elip (E). Chứng minh MA = MB.

a) \(\eqalign{
& (E):{x^2} + 4{y^2} = 16 \cr
& \Leftrightarrow {{{x^2}} \over {16}} + {{{y^2}} \over 4} = 1. \cr} \)

Ta có:

\(\eqalign{
& {a^2} = 16,{b^2} = 4 \cr
& \Rightarrow {c^2} = {a^2} – {b^2} = 12 \cr} \)

\( \Rightarrow c = 2\sqrt 3 .\)

Vậy (E) có hai tiêu điểm: \({F_1}\left( { – 2\sqrt 3 ;0} \right)\) và \({F_2}\left( {2\sqrt 3 ;0} \right)\)

và các đỉnh \({A_1}\left( { – 4;0} \right)\), \({A_2}\left( {4;0} \right)\), \({B_1}\left( {0; – 2} \right)\), \({B_2}\left( {0;2} \right)\)

b) Phương trình \(\Delta \)  có dạng :

\(1.(x – 1) + 2.(y – {1 \over 2}) = 0\)

hay \(x + 2y – 2 = 0\)

c) Tọa độ của giao điểm của \(\Delta \) và (E) là nghiệm của hệ :

\(\left\{ \matrix{
{x^2} + 4{y^2} = 16\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,(1) \hfill \cr
x = 2 – 2y.\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,(2) \hfill \cr} \right.\)

Thay (2) vào (1) ta được :

\({\left( {2 – y} \right)^2} + 4{y^2} = 16\)

\( \Leftrightarrow {(1 – y)^2} + {y^2} = 4\)

\( \Leftrightarrow 2{y^2} – 2y – 3 = 0.\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,(3)\)

Phương trình (3) có hai nghiệm \({y_A}\), \({y_B}\) thỏa mãn

\({{{y_A} + {y_B}} \over 2} = {2 \over 4} = {1 \over 2} = {y_M}.\)

 Vậy MA = MB.

Ta có: \({y_A} = {{1 – \sqrt 7 } \over 2}\), \({y_B} = {{1 + \sqrt 7 } \over 2}\)

\({x_A} = 1 + \sqrt 7 \), \({x_B} = 1 – \sqrt 7 \)

Vậy A có tọa độ là \(\left( {1 + \sqrt 7 ;{{1 – \sqrt 7 } \over 2}} \right)\), B có tọa độ là \(\left( {1 – \sqrt 7 ;{{1 + \sqrt 7 } \over 2}} \right).\)