Trang Chủ Sách bài tập lớp 10 SBT Toán 10

Bài 3.46, 3.47, 3.48, 3.49 trang 162 SBT Toán Hình Học 10: Cho đường tròn  (C): x^2 + y^2 – 6x + 4y – 12 = 0. Tìm tọa độ tâm I và bán kính của đường tròn  (C) 

CHIA SẺ
Bài Đề toán tổng hợp chương III phần hình học Sách bài tập Toán Hình Học 10. Giải bài 3.46, 3.47, 3.48, 3.49 trang 162 Sách bài tập Toán Hình Học 10. Câu 3.46: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho điểm M(2;1)…

Bài 3.46: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho điểm M(2;1).

a) Lập phương trình đường tròn (C) tiếp xúc với đường thẳng  d: x – y – 1 = 0 tại M(2;1) và có tâm nằm trên đường thẳng  d’ 😡 – 2y – 6 = 0

b) Lập phương trình tiếp tuyến với  (C)  biết rằng tiếp tuyến này vuông góc với đường thẳng m: x – y + 3 = 0

a) Đường thẳng \(\Delta \) đi qua M và vuông góc với d có phương trình \(\Delta 😡 + y + C = 0\). \(\Delta \) qua M nên C = -3. Vậy \(\Delta 😡 + y – 3 = 0\)

Tọa độ tâm I của đường tròn (C)  là nghiệm của hệ:

\(\left\{ \matrix{
x + y – 3 = 0 \hfill \cr
x – 2y – 6 = 0 \hfill \cr} \right. \Leftrightarrow \left\{ \matrix{
x = 4 \hfill \cr
y = – 1 \hfill \cr} \right. \Rightarrow I(4; – 1).\)

Bán kính \(R = IM = 2\sqrt 2 \)

Phương trình đường tròn cần tìm có tâm I(4;-1) và có bán kính \(R = 2\sqrt 2 \) là:

\({(x – 4)^2} + {(y + 1)^2} = 8.\)

b) Đường thẳng m: x – y + 3 = 0 Tiếp tuyến \(\Delta ‘\) với (C) vuông góc với đường thẳng m nên \(\Delta ‘\) có phương trình : x + y + c = 0

\(\Delta ‘\) là tiếp tuyến với (C)  \( \Leftrightarrow d\left[ {I;\Delta ‘} \right] = R\)

\(\eqalign{
& \Leftrightarrow d\left[ {I;\Delta ‘} \right] = R \cr
& \Leftrightarrow {{\left| {4 – 1 + c} \right|} \over {\sqrt {{1^2} + {1^2}} }} = 2\sqrt 2 \Leftrightarrow \left[ \matrix{
c = 1 \hfill \cr
c = – 7 \hfill \cr} \right. \cr} \)

Vậy có hai tiếp tuyến với (C) thỏa mãn yêu cầu bài toán có phương trình là :

\(\left[ \matrix{
\Delta {‘_1}:x + y + 1 = 0 \hfill \cr
\Delta {‘_2}:x + y – 7 = 0 \hfill \cr} \right.\)

Bài 3.47: Viết phương trình đường tròn (C) biết rằng (C)  đi qua A(1;-6) và tiếp xúc với đường thẳng \(\Delta :2x + y + 1 = 0\) tại B( – 2;3).

Gọi I(a;b) là tâm của (C).

\(\eqalign{
& \overrightarrow {AI} = (a – 1;b + 6); \cr
& \,\overrightarrow {BI} = (a + 2;b – 3)\,; \cr
& \,{\overrightarrow u _\Delta } = ( – 1;2) \cr} \)

là vectơ chỉ phương của \(\Delta \)

Ta có : IA = IB = R và

\(IB \bot \Delta \Leftrightarrow \left\{ \matrix{
A{I^2} = B{I^2} \hfill \cr
{\overrightarrow u _\Delta }.\overrightarrow {BI} = 0 \hfill \cr} \right.\)

\( \Leftrightarrow \left\{ \matrix{
{(a – 1)^2} + {(b + 6)^2} = {(a + 2)^2} + {(b – 3)^2} \hfill \cr
– 1.(a + 2) + 2.(b – 3) = 0 \hfill \cr} \right.\)

\( \Leftrightarrow \left\{ \matrix{
6a – 18b = 24 \hfill \cr
– a + 2b = 8 \hfill \cr} \right. \Leftrightarrow \left\{ \matrix{
a = – 32 \hfill \cr
b = – 12 \hfill \cr} \right.\)

Khi đó \({R^2} = A{I^2} = {( – 33)^2} + {( – 6)^2} = 1125\)

Vậy (C) : \({(x + 32)^2} + {(y + 12)^2} = 1125\)

Bài 3.48: Cho đường tròn  (C) : \({x^2} + {y^2} – 6x + 4y – 12 = 0.\)

a) Tìm tọa độ tâm I và bán kính của đường tròn  (C)  ;

b) Viết phương trình tiếp tuyến  của đườn tròn (C) biết rằng tiếp tuyến song song với đường thẳng d: 5x + 12y + 2012 = 0.

a) (C) có tâm I(3;-1) và R = 5.

b) Tiếp tuyến \(\Delta \) song song với d \( \Rightarrow \Delta :5x + 12y + c = 0\,(c \ne 2012)\)

\(\Delta \) tiếp xúc với (C) \( \Leftrightarrow d(I;\Delta ) = R\)

\(\eqalign{
& \Leftrightarrow {{\left| {5.3 + 12.( – 2) + c} \right|} \over {\sqrt {{5^2} + {{12}^2}} }} = 5 \cr
& \Leftrightarrow \left| {c – 9} \right| = 65 \cr
& \Leftrightarrow \left[ \matrix{
c = 74 \hfill \cr
c = – 56 \hfill \cr} \right. \cr} \)

Vậy \(\Delta :5x + 12y + 74 = 0\) hay \(\Delta :5x + 12y – 56 = 0.\)

Bài 3.49: Cho elip (E): \({{{x^2}} \over {64}} + {{{y^2}} \over {48}} = 1.\)

Tìm tọa độ những điểm M trên (E) sao cho : \(M{F_1} + 2M{F_2} = 26\)

Ta có \(a = 8\,;\,b = 4\sqrt 3 \,;\,c = 4\,;\,{c \over a} = {1 \over 2}\,.\)

\(\eqalign{
& M(x;y) \in (E) \Leftrightarrow {{{x^2}} \over {64}} + {{{y^2}} \over {48}} = 1\,\,\,(1)\,\,; \cr
& \,{F_1}M = 8 + {x \over 2};\,{F_2}M = 8 – {x \over 2}. \cr} \)

Theo giả thiết ta có:

\(\eqalign{
& 8 + {x \over 2} + 2\left( {8 – {x \over 2}} \right) = 26 \cr
& \Leftrightarrow 24 – {x \over 2} = 26 \Leftrightarrow x = – 4. \cr} \)

Thay vào (1) ta được:

\({{16} \over {64}} = {{{y^2}} \over {48}} = 1 \Leftrightarrow {y^2} = 36 \Leftrightarrow y =  \pm 6.\)

Vậy \(M( – 4; \pm 6).\)