Bài 53: Giải các bất phương trình
a) -5x2 + 4x + 12 < 0
b) 16x2 + 40x +25 < 0
c) 3x2 – 4x + 4 ≥ 0
d) x2 – x – 6 ≤ 0
Đáp án
a) Ta có:
\( – 5{x^2} + 4x + 12 = 0 \Leftrightarrow \left[ \matrix{
x = – {6 \over 5} \hfill \cr
x = 2 \hfill \cr} \right.\)
Bảng xét dấu:
Tập nghiệm của bất phương trình \(S = ( – \infty , – {6 \over 5}) \cup (2, + \infty )\)
b) Ta có: \(16{x^2} + 40x + 25 = 0 \Leftrightarrow x = – {5 \over 4}\) (nghiệm kép)
\(\eqalign{
& a = 16 > 0 \cr
& \Delta ‘ = 200 – 16.25 = 0 \cr
& \Rightarrow 16{x^2} + 40x + 25 \ge 0\,\,\forall x \in R \cr} \)
Vậy S = Ø
c) Ta có:
a = 3
Δ’ = 4 – 12 = -8 < 0
⇒ 3x2 – 4x + 4 ≥ 0 ∀x ∈ R
Vậy S = R
d) Ta có:
\({x^2} – x – 6 = 0 \Leftrightarrow \left[ \matrix{
x = 3 \hfill \cr
x = – 2 \hfill \cr} \right.\)
Bảng xét dấu:
Tập nghiệm S = [-2, 3]
Bài 54: Giải các bất phương trình sau:
a) \({{{x^2} – 9x + 14} \over {{x^2} – 5x + 4}} > 0\)
b) \({{ – 2{x^2} + 7x + 7} \over {{x^2} – 3x – 10}} \le – 1\)
c) (2x + 1)(x2 + x – 30) ≥ 0
d) x4 – 3x2 ≤ 0
Đáp án
a) Ta có:
Advertisements (Quảng cáo)
\(\eqalign{
& {x^2} – 9x + 14 = 0 \Leftrightarrow \left[ \matrix{
x = 2 \hfill \cr
x = 7 \hfill \cr} \right. \cr
& {x^2} – 5x + 4 = 0 \Leftrightarrow \left[ \matrix{
x = 1 \hfill \cr
x = 4 \hfill \cr} \right. \cr} \)
Bảng xét dấu:
Vậy \(S = (-∞, 1) ∪ (2, 4) ∪ (7, +∞)\)
b) Ta có:
\(\eqalign{
& {{ – 2{x^2} + 7x + 7} \over {{x^2} – 3x – 10}} \le – 1\cr& \Leftrightarrow {{ – 2{x^2} + 7x + 7} \over {{x^2} – 3x – 10}} + 1 \le 0 \Leftrightarrow {{ – {x^2} + 4x – 3} \over {{x^2} – 3x – 10}} \le 0 \cr} \)
Ta lại có:
\(\eqalign{
& – {x^2} + 4x – 3 = 0 \Leftrightarrow \left[ \matrix{
x = 1 \hfill \cr
x = 3 \hfill \cr} \right. \cr
& {x^2} – 3x – 10 = 0 \Leftrightarrow \left[ \matrix{
x = 5 \hfill \cr
x = – 2 \hfill \cr} \right. \cr} \)
Bảng xét dấu:
Vậy \(S = (-∞, -2) ∪ [1, 3] ∪ (5, +∞)\)
c) Bảng xét dấu:
Vậy \(S = {\rm{[}} – 6,\, – {1 \over 2}{\rm{]}} \cup {\rm{[}}5,\, + \infty )\)
d) Ta có:
\(\eqalign{
& {x^4} – 3{x^2} \le 0 \Leftrightarrow {x^2}({x^2} – 3) \le 0 \Leftrightarrow \left[ \matrix{
x = 0 \hfill \cr
{x^2} – 3 \le 0 \hfill \cr} \right. \cr
& \Leftrightarrow – \sqrt 3 \le x \le \sqrt 3 \cr} \)
Vậy \(S = {\rm{[}} – \sqrt 3 ,\,\sqrt 3 {\rm{]}}\)
Bài 55: Tìm các giá trị của m để mỗi phương trình sau đây có nghiệm.
a) (m-5)x2 – 4mx + m – 2 = 0
b) (m+1)x2 + 2(m-1)x + 2m – 3 = 0
Advertisements (Quảng cáo)
Đáp án
a)
+ Với m = 5 thì (1) trở thành \( – 20x + 3 = 0 \Leftrightarrow x = {3 \over {20}}\)
+ Với m ≠ 5 thì (1) có nghiệm
\(\eqalign{
& \Leftrightarrow \Delta ‘ = 4{m^2} – (m – 5)(m – 2) \ge 0 \cr
& \Leftrightarrow 3{m^2} + 7m – 10 \ge 0 \cr} \)
Xét dấu Δ’
Ta có:
\(\Delta ‘ = 0 \Leftrightarrow \left[ \matrix{
m = 1 \hfill \cr
m = – {{10} \over 3} \hfill \cr} \right.\)
Vậy
\(\Delta ‘ \ge 0 \Leftrightarrow \left[ \matrix{
m \le – {{10} \over 3} \hfill \cr
m \ge 1 \hfill \cr} \right.\)
b)
+ Với m = -1 thì phương trình (2) trở thành: \( – 4x – 5 = 0 \Leftrightarrow x = – {5 \over 4}\)
+ Với m ≠ -1 thì phương trình (2) có nghiệm
\(\eqalign{
& \Leftrightarrow \Delta ‘ = {(m – 1)^2} – (m + 1)(2m – 3) \ge 0 \cr
& \Leftrightarrow – {m^2} – m + 4 \ge 0 \cr} \)
Xét dấu Δ’
(2) có nghiệm \( \Leftrightarrow {{ – 1 – \sqrt {17} } \over 2} \le m \le {{ – 1 + \sqrt {17} } \over 2}$$\)
Bài 56: Giải các hệ bất phương trình
a)
\(\left\{ \matrix{
2{x^2} + 9x + 7 > 0 \hfill \cr
{x^2} + x – 6 < 0 \hfill \cr} \right.\)
b)
\(\left\{ \matrix{
4{x^2} – 5x – 6 \le 0 \hfill \cr
– 4{x^2} + 12x – 5 < 0 \hfill \cr} \right.\)
c)
\(\left\{ \matrix{
– 2{x^2} – 5x + 4 \le 0 \hfill \cr
– {x^2} – 3x + 10 \ge 0 \hfill \cr} \right.\)
d)
\(\left\{ \matrix{
2{x^2} + x – 6 > 0 \hfill \cr
3{x^2} – 10x + 3 > 0 \hfill \cr} \right.\)
Đáp án
a) Ta có:
\(\eqalign{
& 2{x^2} + 9x + 7 > 0 \Leftrightarrow \left[ \matrix{
x < – {7 \over 2} \hfill \cr
x > – 1 \hfill \cr} \right. \cr
& {x^2} + x – 6 < 0 \Leftrightarrow – 3 < x < 2 \cr} \)
Do đó:
\(\left\{ \matrix{
2{x^2} + 9x + 7 > 0 \hfill \cr
{x^2} + x – 6 < 0 \hfill \cr} \right. \)
\(\Leftrightarrow \left\{ \matrix{
\left[ \matrix{
x < – {7 \over 2} \hfill \cr
x > – 1 \hfill \cr} \right. \hfill \cr
– 3 < x < 2 \hfill \cr} \right. \Leftrightarrow – 1 < x < 2\)
Vậy tập nghiêm của hệ là \(S = (-1, 2)\)
b) Ta có:
\(\left\{ \matrix{
4{x^2} – 5x – 6 \le 0 \hfill \cr
– 4{x^2} + 12x – 5 < 0 \hfill \cr} \right.\)
\(\Leftrightarrow \left\{ \matrix{
– {3 \over 4} \le x \le 2 \hfill \cr
\left[ \matrix{
x < {1 \over 2} \hfill \cr
x > {5 \over 2} \hfill \cr} \right. \hfill \cr} \right. \Leftrightarrow – {3 \over 4} \le x < {1 \over 2}\)
Vậy tập nghiệm của hệ là \(S = {\rm{[}} – {3 \over 4};{1 \over 2}{\rm{]}}\)
c) Ta có:
\(\eqalign{
& \left\{ \matrix{
– 2{x^2} – 5x + 4 \le 0 \hfill \cr
– {x^2} – 3x + 10 \ge 0 \hfill \cr} \right. \Leftrightarrow \left\{ \matrix{
2{x^2} + 5x – 4 \ge 0 \hfill \cr
{x^2} + 3x – 10 \le 0 \hfill \cr} \right. \cr
& \left\{ \matrix{
\left[ \matrix{
x \le {{ – 5 – \sqrt {57} } \over 4} \hfill \cr
x \ge {{ – 5 + \sqrt {57} } \over 4} \hfill \cr} \right. \hfill \cr
– 5 \le x \le 2 \hfill \cr} \right. \Leftrightarrow \left[ \matrix{
– 5 \le x \le {{ – 5 – \sqrt {57} } \over 4} \hfill \cr
{{ – 5 + \sqrt {57} } \over 4} \le x \le 2 \hfill \cr} \right. \cr} \)
Vậy \(S = {\rm{[}} – 5,{{ – 5 – \sqrt {57} } \over 4}{\rm{]}} \cup {\rm{[}}{{ – 5 + \sqrt {57} } \over 4};2{\rm{]}}\)
d) Ta có:
\(\left\{ \matrix{
2{x^2} + x – 6 > 0 \hfill \cr
3{x^2} – 10x + 3 > 0 \hfill \cr} \right. \)
\(\Leftrightarrow \left\{ \matrix{
\left[ \matrix{
x < – 2 \hfill \cr
x > {3 \over 2} \hfill \cr} \right. \hfill \cr
\left[ \matrix{
x < {1 \over 3} \hfill \cr
x > 3 \hfill \cr} \right. \hfill \cr} \right. \Leftrightarrow \left[ \matrix{
x < – 2 \hfill \cr
x > 3 \hfill \cr} \right.\)
Vậy \(S = ( – \infty , – 2) \cup (3, + \infty )\)
