Câu 1: Chứng minh rằng, nếu \(a > b\) và \(ab > 0\); \({1 \over a} < {1 \over b}\)
Ta có:
\({1 \over a} < {1 \over b} \Leftrightarrow {1 \over b} – {1 \over a} > 0 \Leftrightarrow {{a – b} \over {ab}} > 0\) ( đúng vì \(a – b > 0\) và \(ab > 0\))
Vậy \({1 \over a} < {1 \over b}\)
Câu 2: Chứng minh rằng nửa chu vi của tam giác lớn hơn mỗi cạnh của tam giác đó.
Đáp án
Gọi a, b, c là ba cạnh của một tam giác
Nửa chu vi của tam giác đó là \(p = {{a + b + c} \over 2}\)
Ta có:
\(p – a = {{a + b + c – 2a} \over 2} = {{b + c – a} \over 2}\)
Vì \(b + c > a\) nên \(p > a\)
Advertisements (Quảng cáo)
Chứng minh tương tự, ta có: \(p > b\) và \(p > c\)
Câu 3: Chứng minh rằng a2 + b2 + c2 ≥ ab + bc + ca với mọi số thực a, b, c.
Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a = b = c.
Ta có:
a2 + b2 + c2 ≥ ab + bc + ca
⇔ a2 + b2 + c2 – ab – bc – ca ≥ 0
Advertisements (Quảng cáo)
⇔ 2a2 + 2b2 + 2c2 – 2ab – 2bc – 2ca ≥ 0
⇔ (a – b)2 + (b – c)2 + (c – a)2 ≥ 0 (luôn đúng)
Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a – b = b – c = c – a = 0, tức là a = b = c
Câu 4: Hãy so sánh các kết quả sau đây:
a) \(\sqrt {2000} + \sqrt {2005} \) và \(\sqrt {2002} + \sqrt {2003} \) (không dùng bảng số hoặc máy tính)
b) \(\sqrt {a + 2} + \sqrt {a + 4} \) và \(\sqrt a + \sqrt {a + 6} \,\,(a \ge 0)\)
Đáp án
a) Giả sử: \(\sqrt {2000} + \sqrt {2005} \, < \sqrt {2002} + \sqrt {2003} \,\,\,\,\,(1)\)
Ta có:
\(\eqalign{
& (1) \Leftrightarrow \,{(\sqrt {2000} + \sqrt {2005} )^2}\, < {(\sqrt {2002} + \sqrt {2003} \,)^2} \cr
& \Leftrightarrow 4005 + 2\sqrt {2000.2005} < 4005 + 2\sqrt {2002.2003} \cr
& \Leftrightarrow 2000.2005 < 2002.2003 \cr
& \Leftrightarrow 2000.2005 < (2000 + 2)(2005 – 2) \cr
& \Leftrightarrow 2000.2005 < 2000.2005 + 6 \cr} \)
Ta thấy kết quả suy ra luôn đúng.
Do đó: \(\sqrt {2000} + \sqrt {2005} < \sqrt {2002} + \sqrt {2003} \)
b) Giả sử:
\(\sqrt {a + 2} + \sqrt {a + 4} ≤ \sqrt a + \sqrt {a + 6} \,\,(a \ge 0)\) (2)
Ta có:
\(\eqalign{
& (2) \Leftrightarrow {(\sqrt {a + 2} + \sqrt {a + 4} )^2} \le {(\sqrt a + \sqrt {a + 6} )^2} \cr
& \Leftrightarrow 2a + 6 + 2\sqrt {(a + 2)(a + 4)} \le 2a \cr&\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;+ 6 + 2\sqrt {a(a + 6)} \cr
& \Leftrightarrow (a + 2)(a + 4) \le a(a + 6) \cr
& \Leftrightarrow {a^2} + 6a + 8 \le {a^2} + 6a \cr
& \Leftrightarrow 8 \le 0 \cr} \)
Ta thấy : \(8 ≤ 0\) là vô lý
Vậy \(\sqrt {a + 2} + \sqrt {a + 4} > \sqrt a + \sqrt {a + 6} \,\,(a \ge 0)\)
