Bài 39: Tìm nghiệm nguyên của mỗi hệ bất phương trình sau:
a)
\(\left\{ \matrix{
6x + {5 \over 7} > 4x + 7 \hfill \cr
{{8x + 3} \over 2} < 2x + 25 \hfill \cr} \right.\)
b)
\(\left\{ \matrix{
15 – 2 > 2x + {1 \over 3} \hfill \cr
2(x – 4) < {{3x – 14} \over 2} \hfill \cr} \right.\)
a) Ta có:
\(\left\{ \matrix{
6x + {5 \over 7} > 4x + 7 \hfill \cr
{{8x + 3} \over 2} < 2x + 25 \hfill \cr} \right. \Leftrightarrow \left\{ \matrix{
42x + 5 < 28x + 49 \hfill \cr
8x + 3 < 4x + 50 \hfill \cr} \right. \)
\(\Leftrightarrow \left\{ \matrix{
14x > 44 \hfill \cr
4x < 47 \hfill \cr} \right. \Leftrightarrow {{44} \over {14}} < x < {{47} \over 4}\)
Vì x ∈ Z nên x ∈ {4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11}
Vậy tập nghiệm của hệ là : {4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11}
b) Ta có:
\(\left\{ \matrix{
15 – 2 >2x + {1 \over 3} \hfill \cr
2(x – 4) < {{3x – 14} \over 2} \hfill \cr} \right. \Leftrightarrow \left\{ \matrix{
45x – 6 > 6x + 1 \hfill \cr
4x – 16 < 3x – 14 \hfill \cr} \right.\)
\(\Leftrightarrow \left\{ \matrix{
39x > 7 \hfill \cr
x < 2 \hfill \cr} \right. \Leftrightarrow {7 \over {39}} < x < 2\)
Vì x ∈ Z nên x = 1
Vậy tập nghiệm của hệ là {1}
Bài 40: Giải bất phương trình và bất phương trình
a) |x + 1| + |x – 1| = 4
b) \({{|2x – 1|} \over {(x + 1)(x – 2)}} > {1 \over 2}\)
a) Ta có bảng xét dấu:
Advertisements (Quảng cáo)
i) Với \(x < -1\), ta có (1) \(⇔ – x – 1 – x + 1 = 4 ⇔ x = -2\) (nhận)
ii) Với \(-1 ≤ x ≤ 1\), ta có: (1) \(⇔ x + 1 – x + 1 = 4 ⇔ 2 = 4\) (vô nghiệm)
iii) Với \(x > 1\), ta có (1) \(⇔ x + 1 + x – 1 = 4 ⇔ x = 2\) (nhận)
Vậy S = {-2, 2}
b) Ta có:
i) Nếu \(x \le {1 \over 2}\) thì bất phương trình trở thành: \({{ – 2x + 1} \over {(x + 1)(x – 2)}} > {1 \over 2}\)
Ta có:
\(\eqalign{
& {{ – 2x + 1} \over {(x + 1)(x – 2)}} > {1 \over 2}\cr& \Leftrightarrow {{2( – 2x + 1) – (x + 1)(x – 2)} \over {2(x + 1)(x – 2)}} > 0 \cr
& \Leftrightarrow {{ – {x^2} – 3x + 4} \over {2(x + 1)(x – 2)}} > 0 \Leftrightarrow {{(x – 1)(x + 4)} \over {2(x + 1)(x – 2)}} < 0 \cr} \)
Lập bảng xét dấu:
Trường hợp này ta có: \(-4 < x < -1\)
ii) Nếu \(x > {1 \over 2}\) thì bất phương trình đã cho trở thành: \({{2x – 1} \over {(x + 1)(x – 2)}} > {1 \over 2}\)
Advertisements (Quảng cáo)
Ta có:
\(\eqalign{
& {{2x – 1} \over {(x + 1)(x – 2)}} > {1 \over 2} \cr&\Leftrightarrow {{2(2x – 1) – (x + 1)(x – 2)} \over {2(x + 1)(x – 2)}} > 0 \cr
& \Leftrightarrow {{x(x – 5)} \over {2(x + 1)(x – 2)}} < 0 \cr} \)
Lập bảng xét dấu trên nửa khoảng \(({1 \over 2}, + \infty )\)
Trong trường hợp này ta có: \(2 < x < 5\)
Vậy \(S = (-4, -1) ∪ (2, 5)\)
Bài 41: Giải và biện luận các hệ bất phương trình
a)
\(\left\{ \matrix{
(x – \sqrt 5 )(\sqrt 7 – 2x) > 0 \hfill \cr
x – m \le 0 \hfill \cr} \right.\)
b)
\(\left\{ \matrix{
{2 \over {x – 1}} < {5 \over {2x – 1}} \hfill \cr
x – m \ge 0 \hfill \cr} \right.\)
Đáp án
a) Ta có bảng xét dấu:
Vậy \((x – \sqrt 5 )(\sqrt 7 – 2x) > 0 \Leftrightarrow {{\sqrt 7 } \over 2} < x < \sqrt 5 \)
Ta có: \({S_1} = ({{\sqrt 7 } \over 2};\sqrt 5 )\)
Bất phương trình thứ hai có nghiệm \(x ≤ m\).
Ta có: \({S_2} = (-∞; m]\),
Do đó:
+ Nếu \(m \le {{\sqrt 7 } \over 2}\) thì tập nghiệm là S = S1 ∩ S2 = Ø
+ Nếu \({{\sqrt 7 } \over 2} \le m < \sqrt 5 \) thì tập nghiệm là \(S = {S_1} \cap {S_2} = ({{\sqrt 7 } \over 2},m)\)
+ Nếu \(m \ge \sqrt 5 \) thì tập nghiệm là \(S = {S_1} \cap {S_2} = ({{\sqrt 7 } \over 2}\sqrt 5 )\)
b) Ta có:
\({2 \over {x – 1}} < {5 \over {2x – 1}} \Leftrightarrow {{2(2x – 1) – 5(x – 1)} \over {(x – 1)(2x – 1)}} < 0 \Leftrightarrow {{x – 3} \over {(x – 1)(2x – 1)}} > 0\)
Bằng cách lập bảng xét dấu vế trái, ta có:
\({2 \over {x – 1}} < {5 \over {2x – 1}} \Leftrightarrow \left[ \matrix{
{1 \over 2} < x < 1 \hfill \cr
x > 3 \hfill \cr} \right.\)
Ta có: \({S_1} = ({1 \over 2};1) \cup (3, + \infty )\)
Tập nghiệm của bất phương trình thứ hai là: S2 = [m, +∞ )
Do đó:
+ Nếu \(m \le {1 \over 2}\) thì tập nghiệm là \({S_1} = ({1 \over 2};1) \cup (3, + \infty )\)
+ Nếu \({1 \over 2} < m < 1\) thì tập nghiệm là \(S = {\rm{[m, 1)}} \cup {\rm{(3, + }}\infty {\rm{)}}\)
+ Nếu \(1≤ m ≤ 3\) thì tập nghiệm là \(S = (3, +∞ )\)
+ Nếu \(m > 3\) thì tập nghiệm là \(S = [m; +∞ )\)
